试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析课件

试验设计与数据处理(

第

三

版

)Experiment

Designand

Data

Processing吴

lE0

.

1

试

验

设

计

与

数

据

处

理

的

发

展

概

况■20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇

(R.A.Fisher)提

出

了方差分析■

20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用

最广的正交设计表格化■数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法”■我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计0

.

2

试

验

设

计

与

数

据

处

理

的

意

义0.2.1试验设计的目的：■合理地安排试验，力求用较少的试验次数获得较好结果例：某试验研究了3个影响因素：A:A₁,A₂,A₃B:B₁,B₂,B₃C:C₁,C₂,C₃全面试验：27次正交试验：9次0.2.2数据处理的目的通过误差分析，评判试验数据的可靠性；确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验

效

率

；确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并

能对试验结果进行预测和优化；,试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；■

确定最优试验方案或配方。第1章

试

验

数

据

的

误

差

分

析■误差分析

(error

analysis)

:

对原始数据的可靠性进行客观的评定■误差(error)

:试验中获得的试验值与它的客观真实

值在数值上的不一致>客观真实值——真值>试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实

验过程中1.1

真

值

与

平

均

值1.1.1

真

值

(truevalue)■真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值■真值一般是未知的■相对的意义上来说，真值又是已知的

>平面三角形三内角之和恒为180°>

国家标准样品的标称值>

国际上公认的计量值>高精度仪器所测之值>多次试验值的平均值1.1.2

平

均

值

(mean)(1)算术平均值

(arithmetic

mean)适

合

：■等精度试验值■试验值服从正态分布(2)加权平均值(weightedmean)加权和W—■适合不同试验值的精度或可靠性不一致时说

明：■

若

数

据的

分

布

具

有

对

数

特

性，则

宜

使

用

对

数

平

均

值■

对

数

平

均

值≤

算

术

平

均

值■如果1/2≤x₁/x₂

≤2

时，

可

用

算

术

平

均

值

代替(3)对数

平

均

值(logarithmic设两

个

数

：x₁>0,x₂>0,mean)则■当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。■几何平均值≤算术平均值(4)几何平均值

(geometric

mean)设有n个正试验值：

x₁,x₂,…,xn,则■常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合■调和平均值≤几何平均值≤算术平均值Excel在计算平均值中的应用(5)调和平均值

(harmonic

mean)设有n

个正试验值：

x₁,x₂,…,xn,则：1.2

误

差

的

基

本

概

念1.2.1

绝

对

误

差

(absoluteerror)(

1

)

定

义绝对误差=试验值一真值或

△x=x

一

X(2)说明■真值未知，绝对误差也未知■可以估计出绝对误差的范围：或

绝对误差限或绝对误差上界

■绝对误差估算方法：>

最小刻度的一半为绝对误差；>

最小刻度为最大绝对误差；>

根据仪表精度等级计算：绝对误差=量程×精度等级%(

2

)

说

明：■真值未知，常将△x与试验值或平均值之比作为相对误差：

或

1.2.2

相对误差

(relativeerror)(

1)定义

：或相对误差限或相对误差上界x=x(1±E)相对误差常

常

表

示

为

百

分

数

(

%

)

或

千

分

数

(

%

)■

可以估计出相对误差的大小范围：F|=|△xRl—|x,|1.2.3

算术平均误差(average

discrepancy)■

定

义

式

：——试验值!与算术平均值

之间的偏差■可以反映一组试验数据的误差大小■

表

示

当

前

样

本

对

总

体

数

据的

估

计

；■

表

示

样

本

均

数

与

总

体

均

数的

相

对

误

差

；■样本个

数n

越

大

，

标

准

误

越

小

，

表

明

所

抽

取

的

样

本

能

够

较

好

地

代

表

总

体

样

本1.2.4

标准误差

(standarderror)■

定

义

式

：1

.

3

试

验

数

据

误

差

的

来

源

及

分

类1.3.1随

机

误

差

(randomerror)(1)定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时

正时负，时大时小(2)产生的原因：

偶然因素(3)特点：具有统计规律■

小误差比大误差出现机会多■

正、负误差出现的次数近似相等■

当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零■

可以通过增加试验次数减小随机误差

随机误差不可完全避免的1.3.2

系

统

误

差

(systematicerror)(1)定义：

一定试验条件下，

由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差(2)产生的原因：多方面(3)特点：■系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的■它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的

平均值而减小■

只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进

行校正，或设法消除。1.3.3

过

失

误

差

(mistake)(

1)定义：一种显然与事实不符的误差(2)产生的原因：实验人员粗心大意造成(

3

)

特

点

：■可以完全避免■没有一定的规律1

.

4

试

验

数

据

的

精

准

度1.4.1

精

密

度

(precision)(

1

)

含

义

：■反映了随机误差大小的程度■在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度

例：

甲：11.45,11.46,11.45,11.44乙：11.39,11.45,11.48,11.50(

2

)

说

明

：■可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的■试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的■试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求(3)精密度判断①

极

差

(range)R

in

R↓,精密度↑②

标

准

差

(standarderror,SD)标准差↓,精密度个③

方

差

(variance)标准差的平方：■样本方差

(s²)■总体方差(σ²)■方

差

↓

,

精

密

度

↑■适用于两个或多个数据资料分散程度、变异程度或精密

程度的比较例1-5④相对标准偏差

(relative

standard

deviation,RSD)也称变异系数

(coefficient

of

variation,简称CV)■定

义

式

：(a)

(b)

(c)■

精

密

度

高

并

不

意

味

着

正

确

度

也

高■

精

密

度

不

好，

但当

试

验

次

数

相

当

多

时

，

有

时

也

会

得

到

好

的正

确

度1.4.2

正确

度

(correctness)(1

)

含

义：

反

映

系

统

误

差的

大

小(

2

)

正

确

度

与

精

密

度的

关

系

：1.4.3

准确度

(accuracy)(

1

)

含

义

：■反映了系统误差和随机误差的综合■表示了试验结果与真值的一致程度(2)三者关系■

无系统误差的试验精

密

度

：

A>B>C正

确

度

：

A=B=C准

确

度

：

A>B>C精密度：

A′

>B′

>C′准

确

度

：

A′>B′>C'

,A'

>B,CExcel在计算误差中的应用■有系统误差的试验1.5

试

验

数

据

误

差

的

统

计

假

设

检

验1.5.1

随

机

误

差

的

检

验1.5.1.1/‘

检

验

(x¹

-test)(1)

目的：在试验数据的总体方差σ!已知的情况下，对试验数据的随机误差或精密度进行检验。(

2

)

检

验

步

骤

：①计算统计量I若试验数据

x,x₂,·;x,服从正态分布，则服从自由度为

df

=n-1的

分布②

查

临

界

值x²(df)d

.

显著

性

水

平一

般

取

0

.

01

或

0

.

0

5

,

表

示

有

显

著

差

异

的

概

率③

检

验■双侧

(

尾

)

检验(two-sided/tailedtest):若

则

判断

两

方差

无

显

著

差

异，

否

则

有

显

著

差

异■单

侧

(

尾

)

检

验(one-sided/tailedtest):>

左

侧

(

尾

)

检

验

(

当

s²<σ²

时

)若

²>ã

()则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小>

右

侧

(

尾

)

检

验若

L²<x(df)

(

当

s²>σ²

时

)则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大(3)Excel

在1

检验中的应用1.5.1.2

F

检

验(F-test)(1)

目的：对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较(2)检验步骤①计算统计量设有两组试验数据：

3D

D,--

和都服从正态分布，样本方差分别为

!

和

，则服从F分布，第一自由度为

dfi=n₁

-1第二自由度为

dz=n₂-1③

检

验■

双

侧

(

尾

)

检

验(two-sided/tailed

test):若

则判断两方差无显著差异，否则有显著差异②查临界值给定的显著水平αdfi=n₁-1df₂=n₂-1查F分布表临界值■单侧(尾)检验(one-sided/tailed

test):>左侧

(尾

)

检

验(F<1,

即

s₁²<s₂²):若

F>G

₂E则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小>右侧(尾)检验

(F>1,

即s₁²>s₂²)则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大(3)

Excel在F检验中的应用1

.

5

.

2

系

统

误

差

的

检

验1.5.2.1

t检

验

法(1

)

平

均

值

与

给

定

值比

较①目的：

检

验

服

从

正

态

分

布

数

据的

算

术

平

均

值

是

否

与

给

定

值有

显

著

差

异②

检

验

步

骤

：■

计

算

统

计

量

：服从自由度df=n-1

的

t

分布(t-distribution),—

—

给

定

值(可以是真

值、

期

望

值

或

标

准

值

)■

双侧检验：若

则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异■

单側检验>

左侧检验若

t<Qx<46),且|<t。则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小>右侧检验若

t>0C>46),

且

t<t。则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大③Excel在單样本t检验中的应用(

2

)

两

个

平

均

值的比

较目的：

判

断

两

组

服

从

正

态

分

布

数

据

的

算

术

平

均

值

有

无

显

著差

异①

计

算

统

计

量

：■

两

组

数

据的

方

差

无

显

著

差

异

时自

由

度

F=x+合

并

标

准

差

：3—

2

的t分

布服

从s——■

两

组

数

据的

精

密

度

或

方

差

有

显

著

差

异

时服

从t分

布，

其自由

度

为

：②t

检

验■双側检验：若

则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异■

单側检验>

左

侧

检

验

：若

t<0G<x)且

|<t。则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小>右侧检验：若

t>0G>Z)

且

t<t。则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大③Excel在双样本检验中的应用

服从自由度为

df=n-1

的t分

布,——零

或

其

他

指

定

值—

成对测定值之差的算术平均值：(

3

)

成

对

数

据的比

较目的

：

试验数据是成对出现

，

判断两种方法

、

两种仪器或两

分

析

人

员的

测

定

结

果

之间

是

否

存

在

系

统

误

差①

计

算

统

计

量

：—n对

试

验

值

之

差

值的

样

本

标

准

差

：■双側检验：若

则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异■

单側检验>

左

侧

检

验

：若

t<0G<x)且

|<t。则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小>右侧检验：若

t>0G>Z)

且

t<t。则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大③Excel在成对双样本检验中的应用1.5.2.2

秩和检验法

(ranksumtest)(1)

目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等,不要求数据具有正态分布(2)内容：■设有两组试验数据，相互独立，

n₁,n₂分别是两组数据的个数

，

总

假

定

n₁≤n₂;■

将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列■每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩

(rank)■将属于第1组数据的秩相加，其和记为R

₁

R₁——

第1组数据的秩和

(rank

sum)如果两组数据之间无显著差异，则R₁就不应该太大或太小■查秩和临界值表：根据显著性水平α和n₁,n₂,

可查得R₁

的上下限T2

和T₁■

检验

：>如果R₁>T₂或R₁<T₁,

则认为两组数据有显著差异，若

一组数据无系统误差，则另一组数据有系统误差>如果T₁<R₁<T₂,则两组数据无显著差异，若一组数据

无系统误差，则另一组数据也无系统误差(

3

)

例

：设甲、乙两组测定值为：甲：8.6,10.0,9.9,8.8,9.1,9.1乙：8.7,8.4,9.2,8.9,7.4,8.0,7.3,8.1,6.8

已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测

定值是否有系统误差。

(α=0.05)解：(1)排序：秩1234567891011.511.5131415甲8.68.89.19.19.910.0乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2(2)求秩和R₁R₁=7+9+11.5+11.5+14+15=68(3)查秩和临界值表对于α=0.05,

n₁=6,n₂=9得

T₁=33,T₂=63,∴R₁>T₂故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差(4)

Excel在秩和检验中的应用1.5.3

异常值的检验可疑数据、离群值、异常值一般处理原则为：■在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，

及时纠正错误■试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应

先找出产生差异的原因，再对其进行取舍■在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则

应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据■对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选

用的统计方法则应将该试验值剔除。②

说

明

：■3s相当于显著水平α=0.01,2s相当于显著水平α=0.05■

计算平均值及标准偏差s

时，应包括可疑值在内1.5.3.1

拉

依

达

(Paua)检

验

法①

内

容

：可疑数据x,,

若■可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据

首先检验偏差最大的数■剔除一个数后，如果还要检验下一个数,应重新计算平

均值及标准偏差■方法简单，无须查表■

该检验法适用于试验次数较多或要求不高时

3s为界时，要求n>102s为界时，要求n>5③

例

：有一组分析测试数据：0.128,0.129,0.131,0.133,0.135,0.138,0.141,0.142,0.145,0.148,0.167,问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去?

(α=0.01)解：

(1)计算，

s(2)计算偏差(

3

)

比

较3s=3×0.01116=0.0335>0.027故按拉依达准则，当α=0.01时，0.167这一可疑值不应舍去(2)格拉布斯

(Grubbs)检验法①

内

容

：可疑数据x,,

若则应将该值剔除。G

(a,n)——Grubbs检验临界值2显著性水平

α0.050.0250.010.00531.1531.1551.1551.15541.4631.4811.4921.496

51.6721.7151.7491.76461.8221.8871.9441.973

了1.9382.0202.0972.139

82.0322.1262.2212.27492.1102.2152.3232.387

102.1762.2902.4102.482112.2342.3552.4852.564

122.2852.4122.5502.636

132.3312.4622.6072.699142.3712.5072.6592.755

152.4092.5492.7052.806

162.4432.5852.7472.852

172.4752.6202.7852.894

格拉布斯

(Grubbs)

检验临界值G(a,n)

表②

说

明

：■计算平均值及标准偏差s

时，应包括可疑值在内■可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据首先检验偏差最大的数■剔除一个数后，如果还要检验下一个数,应重新计算平均

值及标准偏差■能适用于试验数据较少时■格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据

偏大的情况③

例：例1-14■

用容量法测定某样品中的锰，8次平行测定数据为：10.29,

10.33,10.38,10.40,10.43,10.46,10.52,10.82(%),试问是否有数据应被剔除?

(a=0.05)■解

：

(

1

)

检

验

1

0

.

8

2由于10.82的偏差最大，故首先检验该数。 9Es=5K查得临界值

Gooss)=203故10.82这个测定值应该被剔除。(

2

)

检

验

1

0

.

5

2剔除10.82之后，重新计算平均值及标准偏差s,此时10.52偏差最大，故检验之。查得临界值Goos=1.94故10.52不应该被剔除。由于剩余数据的偏差都比10.52

小，所以都应保留。(3)狄克逊

(Dixon)检验法①单侧情形■将n个试验数据按从小到大的顺序排列：x₁≤x₂≤…≤xn-1≤rn如果有异常值存在，必然出现在两端，即x₁

或xn■计算出统计量D

或D'■查单侧临界值D₁-a(n)

■检

验→检验x₁

时，当D>D

。(n>

检

验x₁

时，当D>R

。@时，可剔除xn时，可剔除x₁②双侧情形■计算D

和

D'■

查双侧临界值

D-a(n)

■

检验>当

D>D',D>B

。m,则!,应被剔除>当

D>D,D>B

。@,则1应被剔除③说明■适用于试验数据较少时的检验，计算量较小■单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数

据■剔除一个数后，如果还要检验下一个数,应重新排序④例：例1-15,1-16例：设有15个误差测定数据按从小到大的顺序排列为：—1.40,

一

0

.

4

4

,

一

0

.

3

0

,

一

0

.

2

4

,

一

0

.

2

2

,

一

0

.

1

3

,

一

0

.

0

5

,

0.06,0.10,0.18,0.20,0.39,0.48,0.63,1.01。试分析其

中有无数据应该被剔除?

(a=0.05)解：本例可应用狄克逊双侧情形检验对于1.01和一1.40,,计算临界值

IQ(1S=0566

--D>E,

且

D>o(lS)故判断最小值-1.40应该被剔除临界值

Z0(KD=

-O586由于

D>D',D<

(1)所以不能继续检出异常值，只检出一1.40为异常值。剔除-1.04之后，对剩余的14个值(一0.44,一0.30,一0.24,,6

,)

一0

,4

.

,

,

.20,0.39,：,0检验0.18行双0.1进06)00113..10028.0

4—01.6

有

效

数

字

和

试

验

结

果

的

表

示1.6.1

有

效

数

字

(significancefigure)能够代表一定物理量的数字■有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度■数据中小数点的位置不影响有效数字的位数

例如：50mm,0.050m,5.0×10⁴

μm■第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后

的数字都是有效数字例如：

29mm和29.00mm■第一位数字等于或大于8,则可以多计一位例如：9.991.6.2

有效数字的运算(1)加、减运算：与其中小数点后位数最少的相同(2)乘、除运算以各乘、除数中有效数字位数最少的为准(

3

)

乘

方

、

开

方

运

算

：与其底数的相同：

例如：2.4²=5.8(

4

)

对

数

运

算

：与其真数的相同例如In6.84=1.92;lg0.00004=-4

(5)在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位(6)所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。(7)一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的例如，圆周率π、重力加速度g、、1/3

等(8)一般在工程计算中，取2～3位有效数字1.6.3

有效数字的修约规则■