考研数学一(行列式)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学一（行列式）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．行列式D==0，则a，b应满足()A．a=b或a=-b。B．a=2b且b≠0。C．b=2a且a≠0。D．a=1，b=正确答案：A解析：D==a×a×1+b×0×1+0×b×0-0×a×1-b×b×1-a×0×0=a2-b2=0，于是a=b或a=-b，应选(A)。知识模块：行列式2．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=()A．0。B．a2C．-a2。D．na2。正确答案：A解析：假设这一列是第j列，按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为-a，从而行列式的值为零，所以应选(A)。知识模块：行列式3．若=()A．30m。B．-15m。C．6m。D．-6m。正确答案：D解析：知识模块：行列式4．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m，k，3，第2列元素的余子式依次为1，-1，1，-1，第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，则m，k的取值为()A．m=-4，k=-2。B．m=4，k=-2。C．m=，k=D．m=，k=正确答案：A解析：由行列式展开定理及推论，得即解得m=-4，k=-2。知识模块：行列式5．设多项式f(x)=，则x4的系数和常数项分别为()A．6，16。B．-6，6。C．6，6。D．-6，-6。正确答案：D解析：由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是关于x4的项，x.2x(-x).3x=-6x4，即x4的系数为-6。当x=0时行列式的值就是常数项，经计算f(0)=-6，即常数项为-6，故选(D)。知识模块：行列式6．设D1==m，D2==()A．m。B．-8m。C．2m。D．-2m。正确答案：D解析：D2==-2=-2D1=-2m。或将行列式D1的第一列加到第二列上之后再互换二、三列，再将第一列乘以2就可得到行列式D2。根据行列式的性质知D2=-2D1=-2m。知识模块：行列式7．下列m阶行列式中，其值必为-1的是()A．B．C．D．正确答案：D解析：(A)中行列式的值等于的奇偶性不定，行列式可能为1，也可能为-1。(B)中行列式按第一列展开得1+(-1)m+1，一定不等于-1。(C)中行列式按第一行展开得(-1)m+1，行列式等于1或-1。(D)中的行列式按第一列展开之后，对n-1阶行列式再按第一列展开得1.(-1)mm+1.1.(-1)m-1+1=-1。故(D)为正确答案。知识模块：行列式8．的值等于()A．a1a2a3a4-b1b2b3b4。B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)。D．(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。正确答案：D解析：根据行列式的拉普拉斯展开法则，将此行列式第2，3行(列)展开，得D=(-1)2+3+2+3=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。所以应选(D)。知识模块：行列式填空题9．(Ⅰ)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于n2-n，则D=_______。(Ⅱ)D==_______。正确答案：0，-2000!解析：(Ⅰ)n阶行列式D共有n2个元素，由于“0”元素的个数大于n2-n，所以非“0”元素的个数小于n(因为n2-(n2-n)=n)。由n阶行列式的概念可知，D的每一项均为0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故D=0。(Ⅱ)D=(-1)r(n-1，n-2，…，n)a1，n-1a2，n-2…an-1,1ann=a1，n-1a2，n-2…ann×2×3×…×1999×2000=-2000!。知识模块：行列式10．D==______。正确答案：-294×105解析：=-600×500×98=-294×105。知识模块：行列式11．已知D==0，则λ=______。正确答案：λ1=1-a，λ2=a+4，λ3=a-3解析：将第3行的-1倍加至第1行，有=(λ+a-1)[(λ-a)2-(λ-a)-12]=(λ+a-1)(λ-a-4)(λ-a+3)，所以λ1=1-a，λ2=a+4，λ3=a-3。知识模块：行列式12．=_______。正确答案：24解析：根据行列式的性质作恒等变形，可得知识模块：行列式13．=________。正确答案：b3(b+ai)解析：每行元素的和均是a1+a2+a3+a4+6，故把每列均加到第一列，并提出公因式，得知识模块：行列式14．设D=，则行列式第1列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=______。正确答案：0解析：将行列式按第1列展开得A11+A21+A31+A41==0。知识模块：行列式15．行列式Dn==_______。正确答案：解析：将第k行的公因子k提到行列式外，其中k=2,3，…，n，再转置，利用范德蒙德行列式的计算公式得知识模块：行列式16．函数f(x)=中x3的系数为______，x2的系数为_________。正确答案：-2，-1解析：将行列式按对角线法则展开为多项式，得f(x)==-2x3+4x+3-(-2x)-x2-12x=-2x3-x2-6x+3，于是函数f(x)中x3的系数为-2，x2的系数为-1。知识模块：行列式17．设f(x)=，则f(x+1)-f(x)=_________。正确答案：6x2解析：知识模块：行列式18．已知=0，则λ=________。正确答案：12，15，18解析：=(λ-12)(λ-15)(λ-18)=0，所以λ的值为12或15或18。知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．计算下列二阶行列式：正确答案：(Ⅰ)=sinθ.(-sinθ)-cosθ.cosθ=-(sin2θ+cos2θ)=-1。(Ⅱ)=ab2-a2b。涉及知识点：行列式20．计算Dn=正确答案：利用行列式的性质得=xDn-1+anxn-1=x(xDn-2+an-1xn-2)+anxn-1=x2Dn-2+an-1xn-1+anxn-1=xn-1D1+a2xn-1+…+an-1xn-1+anxn-1=xn+a1xn-1+a2xn-1+…+an-1xn-1+anxn-1=xn+xn-1ai。涉及知识点：行列式21．计算正确答案：将2至n行的所有元素均加至第一行对应元素上，得再将第一行的-i倍加至第i行(i=2，3，…，n)得涉及知识点：行列式22．设n阶行列式Dn=，求Dn完全展开后的n!项中正项的总数。正确答案：=(-1)n+1.2.(-1)1+(n+1).(-2)Dn-2=4Dn-2=22Dn-2=24Dn-4=…=2n-1，又因为Dn展开后各项的值为1或-1，而n!项的和为2n-1，故正项个数比负项个数多2n-1个，于是正项总数为(n!+2n-1)个。涉及知识点：行列式23．计算：D2n=，其中未写出的元素都是0。正确答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式。将D2n=按照第一行展开，得将两个行列式分别按照最后一行展开，得=andnD(aidi-bici)D2，而D2==a1d1-b1c1。因此原行列式D2n=(aidi-bici)。涉及知识点：行列式24．D=，证明行列式D=(n+1)an。正确答案：用数学归纳法，记n阶行列式的值为Dn。当n=1时，D1=2a，命题正确；当n=2时，D2==3a2，命题正确；设n＜k时，Dn=(n+1)an，命题正确。当n-k时，按第一列展开，则有Dk==2aDk-1-a2Dk-2=2a(kak-1)-a(k-1)ak-2=(k+1)ak，所以D=(n+1)an。命题得证。涉及知识点：行列式25．设a＞b＞c＞0，证明正确答案：将行列式D的第1列乘a+b+c之后再加到第3列得=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)，因为a＞b＞c＞0，故D=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)＜0。涉及知识点：行列式26．计算n阶行列式Dn=正确答案：当n＞3时，第2行减第1行，然后第4行减第2行，变为分块行列式。即Dn=Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D2=0，D3=-1，于是其中k=0，1，2，…。涉及知识点：行列式27．计算n阶行列式Dn=正确答案：涉及知识点：行列式28．计算下列二阶行列式(Ⅰ)(Ⅱ)正确答案：(Ⅰ)=(λ-a)(λ-d)-(-b)(-c)=λ2-(a+d)λ+ad-bc。(Ⅱ)=(x-1)(x2+x+1)-(-x).1=x3-1+x。涉及知识点：行列式29．计算行列式Dn=的值。正确答案：将原行列式Dn按第n行展开，有Dn=+an(-1)n+1=xDn-1+an(-1)n+1.(-1)n-1=xDn-1+an，递推得到Dn-1=xDn-2+an-1(-1)n.(-1)n-2=xDn-2+an-1，Dn-2=xDn-3+an-2，…D2=a1x+a2。对以上n-1个等式分别用1，x，x2，…，xn-2相乘，然后相加，得到Dn=a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+…+an-1x+an。涉及知识点：行列式30．证明：=(a-b)(b-c)(c-a)。正确答案：按对角线法则展开行列式，得=ab2+bc2+ca2-b2c-a2b-ac2=(ab2-a2b)+(bc2-ac2)+(ca2-b2c)=ab(b-a)+(b-a)c2+c(a-b)(a+b)=(a-b)(-ab-c2+ac+bc)=(a-b)[(ac-ab)+(bc-c2)]=(a-b)(a-c)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)。涉及知识点：行列式31．计算Dn=正确答案：由于该行列式每一行及每一列都只有两个非零元，根据展开定理将该行列式按照第一行展开得Dn=a1+bn×(-1)1+n=a1a2…an+(-1)n+1b1b2…bn。涉及知识点：行列式32．证明Dn==an+an-1b+…+bn。正确答案：将行列式按照第一行展开得Dn=(a+b)Dn-0-ab再将后一个行列式按照第一列展开，即得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2。且易得D1=a+b，D2=a2+b2+b2。下面用数学归纳法证明：假设当n=k及n=k-1时，等式成立，即Dk=ak+ak-1b+…+bk，Dk-1=ak-1+ak-2b+…+bk-1，则Dk+1=(a+b)Dk-abDk-1=(a+b)(ak+ak-1b+…+bk)-ab(ak-1+ak-2b+…+bk-1)=ak+1+akb+…+bk+1。故Dn=an+an-1b+…+bn对所有的正整数成立。涉及知识点：行列式33．设x＞y＞z＞0，证明：正确答案：将不等式中的行列式第1列乘以(x+y+z)，第2列乘以(-1)，并且均加到第3列，得=(x-y)(y-z)(z-x)。由于x＞y＞z＞0，有x-y＞0，y-z＞0，z-x＜0。故不等式成立。涉及知识