概率论与数理统计+第三章+多维随机变量及其分布+练习题答案

PAGE1—3.PAGE1—滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第三章多维随机变量及其分布一、填空题例3.1(加法公式)设，则=．分析引进事件：，则,；例3.9（边缘分布函数）设随机变量和的联合分布函数为则随机变量的分布函数为．分析是的边缘分布函数：．因此例3.10（边缘密度）随机向量(,)的概率密度的两个边缘密度为．分析由边缘密度的公式，有即是标准正态密度．由对称性知也是标准正态密度．例3.11（联合概率分布）设随机变量U在区间[－2,2]上服从均匀分布，而随机变量则和的联合概率分布为．分析(1)随机向量有四个可能值：．易见例3.15(函数的分布)设X1和X2独立，,,,则的概率分布为．分析显然有0和1两个可能值．于是，的概率分布是0-1分布：．例3.15（联合分布函数）设随机变量和的联合概率分布为，则其联合分布函数．答案和的联合分布函数为3.21（1）；（2）；（3）；（4）；（5）例3.7【0】例3.8设X,Y相互独立，下表为（X,Y）的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中：YX012011例3.9【】例3.13设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝.【】〖选择题〗3.19设和独立，都服从同一0-1分布：，则=(A)0．(B)．(C)．(D)1．[B]分析由全概率公式及和相互独立，知例3.21设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于(A)0．(B)0.25．(C)0.50．(D)1．[A]分析应选(A)．利用列联表3.1，首先将的分布和的分布用黑体填入表3.4；由条件，可见．故等于，,,的概率为0，将0用黑体填入表3.4，则容易求出和的联合分布．X表3.2例3.14中和的联合分布计算表XYYΣ00.2501/401/400.2500.250.500.25Σ0.250.500.251由和的联合分布可见．3.22设独立和之和+与和服从同名概率分布，如果和都服从(A)均匀分布．(B)二项分布．(C)指数分布．(D)泊松分布．[D]分析熟知，在所列的4个分布中，只有二独立泊松分布的变量之和仍然服从泊松分布．例3.28设随机变量和都服从正态分布，则(A)+一定服从正态分布．(B)和不相关与独立等价．(C)(,)一定服从正态分布．(D)(,)未必服从正态分布．[D]分析(A)不成立，例如，若，则+≡０不服从正态分布．(C)不成立，(,)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立．(D)虽然随机变量和都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(,)未必服从正态分布．3.20（1）D；（2）A；（3）D；（4）B；（5）B〖解答题〗例3.33（条件分布）假设某地区一年内发生大暴雨的次数和一般暴雨的次数相互独立，且分别服从参数为和的泊松分布．在一年共发生了次暴雨的条件下，试求大暴雨次数的条件概率分布．解由条件知，一年共发生暴雨次数可以是任意自然数，有对于任意自然数，有于是，在“一年内共发生了次暴雨”的条件下，大暴雨次数的条件概率分布是参数为的二项分布，其中．例3.34（联合分布）设随机变量相互独立有相同的概率分布：．求随机变量U和V的联合分布，其中解有4个可能值．记,则例3.37(联合分布)假设随机变量服从参数的指数分布，随机变量求的概率分布．解随机变量Y的分布函数为随机向量有四个可能值：，，，．易见例3.39(独立与不相关)假设是以原点为心半径为的圆形区域，而随机变量和的联合分布是在圆上的均匀分布．(1)由(3.19)知，和的联合密度为由(3.10)知，的密度和的密度相应为由于，可见随机变量和不独立．(2)证明和不相关，即和的相关系数=0．有；同理可得．因此，有于是，和的相关系数=0．这样，和虽然不相关，但是不独立．例3.40(独立与不相关的等价条件)假设随机向量的联合密度为,其中和都是二维正态分布密度：(1)求随机变量和概率密度和；(2)求随机变量和的相关系数；(3)问随机变量和是否独立?为什么?解由和的表达式，可见其数学期望都是0，方差都是1，相关系数分别为1/3和－1/3．(1)熟知,二维正态分布密度的两个边缘密度都是正分布态密度,因此和的边缘密度都是标准正态分布密度．由此可见于是和概率密度和都是正态密度．(2)显然，EX=EY=0,DX=DY=1.因此，由相关系数的定义，知(3)随机变量和不独立，因为显然．例3.41(密度的乘法公式)设随机变量X在区间(1,3)上服从均匀分布，而在区间(,2)上服从均匀分布．试求：(1)随机变量和联合密度；(2)随机变量的概率密度；(3)．解随机变量的概率密度为；对于1<<2，随机变量在的条件下的条件概率密度(1)由密度的乘法公式(3.9)，得和联合密度：(2)随机变量的概率密度是联合密度的边缘密度．当1和2时，显然=0；对于，由(3.10)，有．于是，随机变量的概率密度为x22－2－2Ox22－2－2Oy例3.42插图上均匀地掷一随机点，求，和的概率密度和．分析易见，区域是以(2,0)，(0,2)，(－2,0)，(0,－2)为顶点的正方形，其面积为8由于随机点．在正方形上分布均匀，可见正方形的4个边的方程依次为：，；随机变量和的概率密度是的边缘密度：随机变量的概率密度，是利用对称性直接写出的．例3.43(函数的分布)已知随机变量独立同分布：，．试求行列式的概率分布．解记，，则．易见，和独立同分布：随机变量有－1，0和1等3个可能值；例3.48(和的密度)某商品一周的需求量是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以表示周的总需求量，试求：(1)和的概率密度；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度．解以表示第周的需求量，则的概率密度均为，而，．三周中周最大需求量为．(1)当时显然；对于由(3.22)式于是，两周和三周的总需求量和的概率密度(2)设是随机变量X的分布函数．由例3.45可见，连续三周中的周最大需求量的分布函数为．于是，有例3.49插图xy=sxy>sxy<sy1O2x例3.49(积的密度)假设是一矩形；连续型随机向量在矩形上的密度为常数，而矩形之外为0．求边长为X和例3.49插图xy=sxy>sxy<sy1O2x解法1随机向量的密度概率为设是面积的分布函数，则当时=0；当时=1．对于，曲线将矩形分为两部分（见插图）：曲线的上方,曲线的下方；曲线与矩形上边的交点为．对于，有最后，得的概率密度解法2直接利用二随机变量之积的密度公式(3.23)．设是面积的概率密度．显然，当和时=0．对于，由公式(3.24)，有．〖证明题〗例3.51(独立性与相关性)设X和Y相互独立都服从0-1分布：，试证明不相关，但是不独立．证明(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见于是，不相关．(2)现在证明不独立．事实上，由可见和不独立．例3.54(独立性)对于任意二事件，考虑二随机变量试证明随机变量独立的充分与必要条件，是事件相互独立．证法１记，而是的相关系数．有由于=０与=0等价，而由，可见，=0的充分与必要条件，是，即事件相互独立．证法２易见，随机变量都服从0-1分布并且(1)必要性．设随机变量独立，则从而，事件相互独立．(2)充分性．设事件独立，则也都独立，因此从而，随机变量独立．例3.1设，试判定能否作为二维随机变量的分布函数。【不能】例3.2设二维随机变量（X,Y）的分布函数为试求系数A、B及C及概率，并问X与Y是否相互独立，为什么？【；；X与Y相互独立】例3.3设的联合密度为试求：（1）常数C;（2）；（3）.【4；0，1/2】例3.4把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值。试求X与Y的联合分布律以及X与Y的相关系数，并问X与Y是否独立？例3.5某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在随机抽取一件，令=,i=1,2,3.(1)求和的联合分布;(2)求和的相关系数.例3.6一射手对同一目标进行射击，每次击中目标的概率为，射击进行到第二次击中目标为止，设X表示第一次击中目标时所进行的射击次数，Y表示第二次击中目标时所需要的射击次数，试求的联合分布律以及两个条件分布律。【；；】例3.7设随机变量均服从如下分布：且满足，则=.【0】例3.8设X,Y相互独立，下表为（X,Y）的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中：YX012011例3.9设X和Y均服从正态分布，且，则.【】例3.10设事件A,B满足，令，试求的联合分布律，并问X和Y是否独立？例3.11设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量,试求：(1)X和Y的联合概率分布;(2)X+Y的概率分布.（1）YX-11-10.25010.50.25（2）X+Y-202P0.250.50.25例3.12设均为密度函数为的独立随机变量，求（1）；（2）求的数学期望与方差。【】例3.13设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝.【】例3.14随机变量独立同分布,且分布密度为,设,求【】例3.15设随机变量X与Y相互独立，均服从标准正态分布，试求【】例3.16设随机变量X与Y的联合密度函数为证明：X与Y不独立，但独立。例3.17设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为，Y的分布律为，试求的密度函数.【】例3.18设X与Y的联合概率密度函数为，（）（1）证明随机变量Y具有如下性质：对任意的，有（2）求X的数学期望。【】例3.19设,证明典型例题与练习例3.20选择题：(1)设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为，分布函数分别为，则（A）必为某一随机变量的概率密度；（B）必为某一随机变量的概率密度；（C）必为某一随机变量的概率分布函数；（D）必为某一随机变量的概率分布函数.(2)设随机变量X与Y相互独立且同分布：，则下列各式中成立的是（A）（B）（C）（D）(3)设随机变量X与Y相互独立且同分布，记，则随机变量U与V（A）独立（B）不独立（C）相关系数不为0（D）相关系数为0(4)设随机变量X与Y相互独立，且，，则（A）（B）（C）（D）(5)设随机变量X,Y相互独立，且X～，Y～，则下列式子中正确的是（A）（B）（C）（D）例3.21填空题：(1)设随机变量X与Y相互独立，，且，则=.(2)设平面区域D由曲线y=1/x及直线所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x=2处的值为。(3)设二维随机变量的概率密度为，则=.(4)设是i.i.d.的,且,其中0<p<1,0<q<1,r0,p+q+r=1.则试求下列函数的分布:=