安庆市重点中学2023-2024学年高三最后一卷数学试卷含解析

安庆市重点中学2023-2024学年高三最后一卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（）A． B．C． D．2．“”是“直线与互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知复数，则的虚部为（）A．－1 B． C．1 D．4．若复数满足，则（）A． B． C．2 D．5．函数f(x)=2x-3A．[32C．[326．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．7．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A． B． C． D．8．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（）A．5 B．11 C．20 D．259．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．10．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是()A． B． C． D．11．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______.14．已知集合,,则__________．15．已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是__________.16．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下：寿命（天）频数频率40600.30.4200.1合计2001某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，，求数列的前n项和．18．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．19．（12分）已知，，，，证明：（1）；（2）.20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：，若，则，，21．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．22．（10分）△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.【详解】解：因为，即，又，设，根据条件，，；若，，且，则：；在上是减函数；；；在上是增函数；所以，故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.2、A【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行；若直线与互相平行，则，解得，，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．3、A【解析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】，故的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.4、D【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【详解】解：由题意知，，，∴，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.5、A【解析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx6、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7、D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．8、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，又，，为三角形的三边长，且最大内角为，由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.9、B【解析】

解：当直线过点时，最大，故选B10、D【解析】

根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.11、C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．12、B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示：过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.∵易证面,∴,而三角形为等边三角形,∴为的中点.设,.∴.故三棱锥的体积为当且仅当时,,即.∴三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,∴四边形为矩形.则,,,在中,,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：．【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.14、【解析】

直接根据集合和集合求交集即可.【详解】解:,,所以.故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.15、【解析】

设，利用正弦定理，根据，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，转化为有解问题求解.【详解】设，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，设，在上有解，所以，解得，即，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.16、10【解析】

先求出a，b，根据分层抽样的比例引入正整数k表示n，从而得出的最小值.【详解】由题意得，a=0.2，b=80，由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）因为，所以，所以，所以数列是等差数列，设数列的公差为，由可得，因为成等比数列，所以，所以，所以，因为，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，所以．18、（1）（2）【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：（1）∵，，（Ⅱ）取中点，则，在中，，（注：也可将两边平方）即，，所以，当且仅当时取等号．此时，其最大值为.点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得证；（2）首先推导出，再利用，展开即可得证.【详解】证明：（1），，，（当且仅当时取等号）.（2），，，，，，，.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．20、（1）（2）详见解析【解析】

由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解.由题意得，获赠话费的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列求期望.【详解】由题意得综上，由题意得，获赠话费的可能取值为，，的分布列为：【点睛】本题主要考查