福建省三明市永安三中2024届高考仿真卷数学试卷含解析

福建省三明市永安三中2024届高考仿真卷数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（）A． B． C． D．3．已知函数的导函数为，记，，…，N.若，则（）A． B． C． D．4．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．6．已知x，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．设，集合，则（）A． B． C． D．9．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．10．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；②轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③12．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________.14．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.15．函数在处的切线方程是____________.16．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.18．（12分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.19．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．21．（12分）设函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，().（i）求的取值范围；（ii）求证:随着的增大而增大.22．（10分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.（1）证明：BD⊥EG；（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2、B【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.【详解】因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.故选：B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.3、D【解析】

通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4、B【解析】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.5、A【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.6、D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【详解】因为x，，当时，不妨取，，故时，不成立，当时，不妨取，则不成立，综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.7、A【解析】

利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.8、B【解析】

先化简集合A,再求.【详解】由得：，所以，因此，故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.10、D【解析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.11、B【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所．则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，，根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以直线轴．所以②正确．如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以③不正确．故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．12、C【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值.【详解】点在单位圆上，设，由三角函数定义可知，因为，则，所以由同角三角函数关系式可得，所以故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.14、【解析】

作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点，则，，，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，，.因此，函数在处的切线方程是，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.16、161【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为，，解得，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解析】

（1）分类讨论去绝对值即可；（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.【详解】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）当a＜﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；当a≥﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.18、（1）；（2）存在，且方程为或.【解析】

（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.【详解】（1）直线的一般方程为.依题意，解得，故椭圆的方程式为.（2）假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.由，得.由，得.记，的坐标分别为，，则，，而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，即，所以，整理解得或，所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据平面，利用线面垂直的定义可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面，所以由为等腰直角三角形，所以又，故平面.取的中点，连接，因为，所以因为平面，所以平面所以平面如图，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系则，又，所以且于是设平面的法向量为，则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.20、（1）；（2）．【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为，可得，，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，因与直线相切，则有，即，，，故而椭圆方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，，，由于；②当直线l的斜率为0时，，，则；③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由及，得，有，∴，，，，∴，综上所述：．【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.21、（1）见解析；（2）（i）（ii）证明见解析【解析】

（1）求出