专题16 古典概型（解析版）

Page8Page1专题16古典概型1.基本事件的定义一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。3.古典概型及其特点(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等。4.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。注意：求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法．【题型1基本事件的判断及表示】【题型2古典概型的特征】【题型3计算古典概型问题的概率】【题型1基本事件的判断及表示】知识点：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。例1.在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（

）A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵【答案】A【分析】利用基本事件是不可能同时发生的定义，即可得到答案；【详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确;在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误;在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误;在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误．故选：A例2.某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有（）A．2个 B．3个C．4个 D．5个【答案】B【分析】直接列出所有情况即可.【详解】选学的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个．故选：B.例3.箱子中有三颗球，编号1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间：(1)一次取一球，取后放回，连取两次．(2)一次取一球，取后不放回，连取两次．(3)一次取两球．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【分析】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得．【详解】（1）由题可知共有个样本点，样本空间为；（2）由题可知共有个样本点，样本空间为；（3）由题可知共有个样本点，样本空间为{1与2，1与3，2与3}.【题型训练1】1．基本事件的特点：一是任何两个基本事件是的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的．【答案】互斥和【分析】根据基本事件的特点即可得到答案．【详解】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．故答案为：互斥；和．2.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为()A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}【答案】D【详解】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D3.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有（）A．3种 B．4种C．6种 D．12种【答案】C【分析】直接利用列举法即可得到答案.【详解】设这部小说三册分别为1，2，3，则共有共6种．故选：C.4.从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.【答案】6【分析】利用列举法即可直接得出结果.【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为，记基本事件为，，则所有的基本事件为，共6个.所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6.故答案为：65.在试验“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，试用样本点表示事件A和事件B．【答案】见解析【分析】列举法表示事件的所有可能结果即可．【详解】解：，，，，，；，，，，．【题型2古典概型的特征】知识点：古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等。例4.下列实验中，是古典概型的有（

）A．某人射击中靶或不中靶B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C．四名同学用抽签法选一人参加会议D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率【答案】C【分析】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可.【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足；故选：C例5.下列关于古典概型的说法正确的是（

）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解．【详解】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确．故选：D．例6.（多选）下列试验不是古典概型的是（

）A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止【答案】ABD【分析】根据古典概型的有限性和等可能性，逐一判断选项是否满足即可.【详解】对于A，由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；对于B，样本点是无限的，故B不是；对于C，满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；对于D，样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．故选：ABD【题型训练2】1．下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据古典概型的定义，特征，即可判断选项【详解】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.故选：A.2．（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（

）A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶【答案】BC【分析】利用古典概型的定义判断即可.【详解】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.故选：BC3.下列概率模型不属于古典概型的是（

）A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C．一只使用中的灯泡的寿命长短D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”【答案】ACD【分析】根据古典概型的特点分析各选项的模型即可得答案.【详解】由古典概型的特点：等可能性、有限性A：基本事件是无限的，排除；C：每只灯泡寿命长短具有不确定性，不符合等可能性，排除；D：月饼质量评价有主观性，不符合等可能性，排除；而B，每个人选到的可能性相等且总共有8个人，满足古典概型的特征.故选：ACD4.下列是古典概型的是（

）①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得出结论.【详解】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响.故选：B.【题型3计算古典概型问题的概率】知识点：古典概型的概率求解步骤(1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深对题意的理解;(2)判断本试验的结果中,每个样本点发生是否等可能,设出事件A;(3)分别求出事件和样本空间包含的样本点个数,代入公式P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)求解.例7.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.【详解】依题意，任选一个基地有5种方法，选择红色教育基地有2种方法，所以选择红色教育基地的概率是.故选：B例8.某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】掷出两枚骰子，设得到向上的点数分别为，，则基本事件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种情况，其中点数和为的有、、、共种情况，所以点数和为的概率.故选：C例9.某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率；(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用古典概型公式求解.【详解】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为.从5名成员随机选出3人的情况有，共10种.所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种，则所选的3人中恰有1名男成员的概率.（2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种，则所选的3人中至少有2名女成员的概率.例10.书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只．(1)写出试验的样本空间；(2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率【答案】(1)(2)，【分析】（1）写出所有可能的情况即可；（2）分别得出“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】（1）由题知，试验的样本空间.（2）设“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”分别为事件A，B，事件A包含的基本事件有：，共3个，事件B包含的基本事件有：，共6个，则，，所以取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率分别为，．【题型训练3】1．一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动，其中37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的人数，利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有：（名），故从该班随机抽取一名同学，该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为，故选：A.2．随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算基本事件总数，利用列举法得到两个骰子的点数之和是4的倍数的基本事件个数，由此能求出得到所示概率.【详解】随机抛掷两枚均匀骰子，观察得到的点数，基本事件总数，所得点数之和是4的倍数为事件B，则事件B的结果有共9种，所求的概率为.故选：C3．从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，其能构成三角形的概率是（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】A【分析】利用列举法求解基本事件，即可由古典概型的概率公式求解.【详解】从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，所有的可能性有，共有10种，能构成三角形的有，共3种，故概率为，故选：A4．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）列举求解相应概率.【详解】（1）甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.基本事件可能为（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙），共有6个，其中甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件只有（甲乙，丙）1个，故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为.（2）甲、乙两人不在同一岗位有（甲丙，乙），（丙乙