2023-2024学年内蒙古赤峰市第二中学高三3月份模拟考试数学试题含解析

2023-2024学年内蒙古赤峰市第二中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为()A．60 B．80 C．90 D．1203．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．设为非零实数，且，则（）A． B． C． D．5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④6．不等式组表示的平面区域为，则（）A．， B．，C．， D．，7．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）A． B． C． D．8．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）A．14种 B．15种 C．16种 D．18种9．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．10．已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）A． B． C． D．11．下列命题为真命题的个数是（）（其中，为无理数）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．312．已知满足，，,则在上的投影为（）A． B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.15．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.16．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）[选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.18．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．19．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．20．（12分）设函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．证明：直线与圆相切；求面积的最小值．22．（10分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.2、B【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．4、C【解析】

取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.5、D【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，，则，故②正确；对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；对于④，若，，，则，故④正确；故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.6、D【解析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中，，

设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，

由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，故AB错误；

设，则的几何意义为点与点连线的斜率，由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.7、C【解析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，由间接法得到满足条件的情况有共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，故满足条件的事件的概率为：故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．8、D【解析】

采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题9、B【解析】

利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.10、C【解析】

设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，，解得或或.综上，满足条件的点共有三个．故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．11、C【解析】

对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以②不正确；对于③中，设函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12、A【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.14、8【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距，由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15、【解析】

由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.16、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为，则由题意得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【详解】（1）不等式，即等价于或或解得，所以原不等式的解集为；（2）当时，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.18、【解析】

先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2，令所以有，解得，所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.19、（1）（2）特征值为或．【解析】

（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．【详解】解：（1）设矩阵由题意,因为,所以,即所以,（2）矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或．【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.20、（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.【解析】

（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.【详解】（1），当时，恒成立，当时，，综上，当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2），令，原方程只有一个解，只需只有一个解，即求只有一个零点时，的取值范围，由（1）得当时，在单调递增，且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，当时，，此时函数只有一个零点，原方程只有一个解，当且递增区间时，递减区间时；，当，有两个零点，即原方程有两个解，不合题意，所以的取值范围是或.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.21、证明见解析；1.【解析】

由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；由知，的面积为【详解】解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以．所以椭圆的方程为．由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为时，，，于是，到的距离为，直线与圆相切．当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，所以，，从而．而，故的方程为，而在上，故，从而，于是．此时，到的距离为，直线与圆相切．综上，直线与圆相切．由知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．22、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，求平面的一