概率论与数理统计-朱开永-同济大学出版社习题一答案

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案PAGE11习题一1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的盒子里（每个盒子可容纳两个球）解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；球可放入的任一个，其放法有种，球也可放入三个盒子的任一个，其放法有种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为种。（2）观察三粒不同种子的发芽情况。解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有种不同情况。（3）从五人中任选两名参加某项活动。解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数。（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。解：此随机试验是把从0到100任一种分看作一个基本事件，。（5）将三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。球可放入三个盒子中的任一个有种方法。球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以球放入的盒子不能再放入球，球只能放入其余（无球的盒子）两个中任一个，其放法有个。只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为种。2．事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B表示“五件产品都是合格品”，则各表示什么事件？之间有什么关系？解：设“五件中有件是不合格品”“五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成：而，与是互为对立事件。3.随机抽验三件产品，设表示“三件中至少有一件是废品”，设表示“三件中至少有两件是废品”，表示“三件都是正品”，问各表示什么事件？解：“三件都是正品”，“三件中至多有一件废品”，“三件中至少有一件废品”，.4.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设表示“第一次射击击中飞机”，表示“第二次射击击中飞机”，试用及它们的对立事件表示下列各事件:“两弹都击中飞机”；“两弹都没击中飞机”“恰有一弹击中飞机”；“至少有一弹击中飞机”。并指出中哪些是互不相容，哪些是对立的。解：，与,与,与,与是互不相容的，与是相互对立的.5．在某班任选一名学生。记“选出的是男生”;“选出的是运动员”;“选出的是北方人”。问：（1）各表示什么事件？（2）各表示什么意义。（3）在什么条件下，.解：（1）=“选出的是南方的不是运动员的男生”。（2）表示该班选出北方的学生一定是运动员。表示选出的不是运动员的男生是南方的。事件个数求法如下：首先事件A表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有种。由乘法原理可知.10．将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。解：设事件“至少出现一次正面”，“全不出现正面”若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E的基本事件个数，所包含的基本事件个数.则.11．盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。解：从盒中10只球任取5只的取法共有种，即为此随机试验的基本事件的个数，.设事件“正好取得3只新球2只旧球”事件所包含的基本事件的个数的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有种；再从4只旧球中任取2只，其取法有种。由乘法原理得,.12.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记“甲取得正品”；“乙取得正品”。求解：求的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。求问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率，样本空间是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问题。此时基本事件个数,在此中正品是5件，事件B包含的基本事件个数，求的问题可用上面两种方法，所不同的是“甲取得一件是次品”，.13．甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。解：设事件“甲市为雨天”;事件“乙市为雨天”。则所求的问题：（1）;（2）;（3）.14．甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。（1）事件“取得2个红球”;（2）事件“取得的两球颜色相同”解：(1)随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件总数.由乘法原理知道事件包含的基本事件个数..用分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则。与相互独立。（2）与相互独立, 且三种情况互不相容，则.制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9,而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的）解：设事件“采用第一种工艺获得一级品”;事件“采用第二种工艺获得一级品”;第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为由题设知道：第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为.由题设知道：所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为），二级品（记为）,次品（记为）的概率。解：随机试验E是100件产品任取5件，其基本事件的个数。事件包含的基本事件个数求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数事件包含的基本事件个数求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为,再从95件无缺陷的产品中任取4件，个数为，由乘法原理知(因为互不相容).17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。解：此问题是独立重复试验问题。设事件“10台机床中任3台出故障”，.18．据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。解：设事件“至少对6人有疗效”,.19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工序不合格的概率。解：设事件“至少有一道工序不合格”;“两道工序后都合格”..20．已知求：（1）(2)(3)解：(1);;.(2).(3);;.21、某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为，在刮风的条件下下雨的概率为。求即刮风又下雨的概率。解：设事件“某地某月刮大风”;“某地某月下雨”..22.某学校学生四级英语考试的通过率为90%,其中60%的学生通过六级英语考试,试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.解：设A=“通过四级英语考试”,B=“通过六级英语考试”,由题意,可知0.9,=0.5423.设两两独立的三个事件满足条件：且已知求解：，即则所以24．从1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从中任取一个数，记为Y，求解：25．有外观相同的三极管6只，按流量放大系数分类，4只属于甲类，两只属于乙类，不放回的抽取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率。解：设事件“第一次抽到的是甲类三极管”，事件“第二次抽到的是甲类三极管”，26．10个零件中有7个正品，3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求：（1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。解：设事件“第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品，“抽三次至少有一个正品”，“抽三次全是次品”27．一个工人看管三台机床，在1h内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在1h内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。解：设事件=“第k台机床不用照管”()（1）设事件“三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。28．有两个电路如图1-24所示，每个开关闭合的概率都是，诸开关闭合与否彼此独立，分别求两电路由至导通的概率。（1）（2）解：记｛第个开关闭合｝（1）（至导通），两事件与3是相容的。（至导通）（至导通）与是相容的，是相互独立的，且概率相同。（至导通）29．大豆种子保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为0.92和0.89，现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。解：设事件“大豆种子保存于甲仓库”;“大豆种子保存于乙仓库”;B=“取到的一粒种子发芽”由题意可得，，由全概公式得：30．有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有4支红的，2支蓝的；丙盒中装有3支红的，3支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？解：设事件“笔取于甲盒”;“笔取于乙盒”;“笔取于丙盒”;“取到的是红圆珠笔”,由题意可得，，由全概公式得：31．射击队里有编号为1,2,3,4,5的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是1号射手的概率。解：记“选取第号射手”.“命中目标”,的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，…，可能是第五号射手击中目标，即。求用全概公式。问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即.由贝叶斯公式：32．转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？解设至少炼了炉才能以99％的把握炼出合格的钢。事件“炼出的一炉是合格的”“炼出的一炉是不合格的”。事件“炼出合格的钢”，，，取所以必须至少炼4炉。33.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求（1）明天飞机晚点的概率；（2）若第二天飞机晚点，天气是雨天的概率有多大？解：设A={明天飞机晚点}，{天气预报称明天有雨},{天气预报称明天晴天}，（1）（2）34．8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。解:设A={射击时中靶}，{枪校准过},{枪未校准}，则,是Ω一个划分，由贝叶斯公式，得35．一批产品共100件,其中有4件次品.每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验3次.如发现次品,则认为这批产品不合格.但检验时,一正品被误判为次品的概率为0.05，而一次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品被认为是合格品的概率。解：设A=“任取一件被认为是合格品”;B=“任取一件是次品”;C=“这批产品被认为合格品”.由题意36．甲盒中有两只白球，一只黑球，乙盒中有一只白球，五只黑球。求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随即地从乙盒取出一球而恰为白球的概率。解：设事件“从甲盒中取出的是白球”；“从甲盒中取