构建力学知识体系

构建力学知识体系构建力学知识体系——浅谈高一力学复习谈起高中物理，不管是在读学生，还是从高中时代过来的成人们，普遍反映：物理难学，高一的力学尤其难学。翻开高一课本，新的概念、规律接踵而至。刚开始几个如力、位移、速度是比较直观的概念，加速度稍难理解点，但物体速度可以变化是事实，这个描述速度变化快慢的加速度还是可以接受的，所以运动学公式、牛顿第二定律相对来讲还是比较容易接受和掌握的，这个阶段学生感觉困难的是把物体所受的全部力不多不少正确无误地分析出来。接着是曲线运动、圆周运动知识，由直线运动到曲线运动，这个弯转得比较大，其中向心力、向心加速度这些概念尤其难以理解，学生极易有向心力是物体做圆周运动时专门受到的、大小为mrω2的特殊类型的力的错觉，而与物体实际的受力相脱离，所以有的学生在遇到求某个具体的什么力时，动不动就将算出来的向心力当作这个力，实在是他们弄不清向心力和这些具体受力间的关系，究其实质还是他们没深刻理解牛顿第二定律。此后迎来的是一系列深藏在表象里面的、极其抽象的概念和规律，如冲量、动量、动量定理、动量守恒定律、功、功率、动能定理、势能、机械能、机械能守恒定律等等。这些经数代科学家在经过不断地观察、实验、思考、逻辑推理、争论、去伪存真、抽象、概括的高度浓缩的更本质的智慧结晶，对学生而言就象压缩饼干一样难于咀嚼。有的学生在学习时认为这无非是把公式变来变去，在玩数学游戏，是物理学家们好事；而有的则感叹这些规律真伟大、真奇妙，但遇到问题时却一如既往地以牛顿定律为武器，他们怕这些规律，怀疑自己有驾驭的能力；多数同学已迎难而上了，然而上新课时，所做的练习是经专门挑选的，用来操练新规律的，所以学生往往不必去细究更多，有时依样画个葫芦，有时套套公式，也能应付过来。经过一个阶段的集中训练，公式是熟悉多了，然而这时如果问起这些规律是怎么来的，与以前的内容间有何联系，如何根据具体问题来选择规律时，能回答一、二的学生却不多。当然上新课时，经精心设计，以旧引新，这些规律的来龙去脉都讲过，平时训练有时也彼此作比较，但学生在面对这些本身极其抽象，自己又没在其中“摸爬滚打”过的知识、经验时，印象往往是不深刻的。这样，一章一章学下来，学到后来，在学生脑海中的物理只是一块块的、独立的、隔章如隔山的、不成体系的、零乱的知识堆砌。那么这些规律间到底是什么关系呢？是互相独立的，互不相干的？还是相互间有联系的，但又是独立的？还是完全一样，可以互相取代的？只有弄清了相互间的关系，才能进行融会贯通、综合分析、灵活应用。那么教师怎样才能在有限几节复习课上让学生明白得尽可能多点，而达到良好的复习效果呢？在学生方面，经过近一年的学习，学生已有了一定的认识和理解，有了自己的体会，有些学生学得还真不错了，这时的他们已有了进一步理解的基础，同时他们自身也有了欲从高处俯瞰力学“迷宫”，想更进一步深入的要求，可以说在这时候进行一次较全面的分析，共同构建力学知识体系的时机成熟了。于是我想通过一个简单的、常见的情景题，让这些规律一个牵着一个地走出来，一溜齐全地站在学生面前，给学生以强烈的视觉和思想冲击，这些在学生印象中该在不同阶段出现，应用于不同题目的规律，聚在一起，向学生展示各自的风采。[题1]如图（1），一质量为m的小球在人所施加的竖直向上的恒定拉力F作用下匀加速上升，加速度为a，空气阻力不能忽略，设为恒力Ff，在t时间内，小球速度由V变为Vˊ，上升高度为h，那么这些物理量间的相互关系怎样？对小球，据牛顿第二定律（F合=ma，力的瞬时作用效应），有F－mg－Ff=ma，①据运动学公式，有Vˊ－V=at，②Vˊ2－V2=2ah，③讨论：若a=0，则小球有F－mg－Ff=0，即处于力平衡状态，Vˊ=V，而F合=0，是物体的平衡条件。将①②联立，消去a得（F－mg－Ff）t=mVˊ－mV，④此式表明小球所受合外力的冲量等于小球在此过程中的动量的变化，这就是动量定理，是反映力对时间的积累效应。将①③联立，得（F－mg－Ff）h=mVˊ2－mV2，⑤此式表明小球所受合外力的功（或各外力的功的和）等于小球在此过程中动能的变化，这就是动能定理，是反映力对空间的积累效应。又WG=－mgh=－ΔEp⑥或ΔEp=mgh，⑥ˊ重力对物体做多少功，物体的重力势能（严格讲重力势能是物体与地球组成的系统所共有的，其存在以两者间的引力作用为前提，故重力对物体的功的实质是物体受到的重力和地球所受反作用力的功的和，其值取决于重力和两者的相对距离的改变，故我们常以其中之一的地球为参考分析h，求得重力功。）减少多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能增加多少。重力功等于重力势能增量的负值。凡跟重力做功具有相同特点的力，即其功与物体运动路径无关，只与初、未位置有关，都以下的比较便说明问题了。动量是矢量，有大小、方向，合成时遵循平行四边形定则；动能是标量，只有大小而没有方向。动量所反映的是只有物体间互相传递、转移的机械运动量，这一规律由动量守恒定律所表述；动能则反映的是可以转化为内能、电能、光能等其它形式运动量的机械运动量，这一特点由能量守恒定律所反映。动量的变化（传递、转移）是通过冲量而实现而量度；动能的变化（传递或转化）是通过做功而达到而量度。所以动量和动能是反映机械运动不同侧面的、客观存在的机械运动量。当两个物体发生非弹性碰撞时，其动量是守恒的，而动能是不守恒的。所以力和运动观点、动量观点、功能观点是动力学问题在不同视角下的体现。上题我们进行了全面的剖析、全方位地把问题的不同侧面都展现出来，让我们全面地、透彻地感受了该运动过程。既然观察问题的角度有多个，所以一般问题的解法往往也有多种，我们从不同观点出发，可以得到同样的结果。[题2]如图（2）甲所示，质量为m的物体（可视为质点）以水平初速V0滑上原来静止在光滑水平面上的质量为M的小车上，物体与小车上表面的动摩擦因数为µ，小车足够长，求从物体滑上小车到与小车相对静止这段时间内，小车通过的位移。分析：对m、M进行受力分析如图（2）乙所示，各力的大小为：因m竖直方向力平衡，有FN1=mg；而滑动摩擦力Ff=µFN=µmg；又由牛顿第三定律得Ffˊ=Ff=µmg，两力方向相反。[解一]力和运动观点以向右为正方向，对m据牛顿第二定律有－µmg=mam，（1'）对M据牛顿第二定律有µmg=MaM，（2'）m、M相对静止时有V0+amt=aMt，（3'）而SM=aMt2，（4'）由（1'）（2'）（3'）（4'）解得SM=。[解二]动量观点以向右为正方向，对m据动量定理得－µmgt=mV共－mV0，（1''）对M据动量定理得µmgt=MV共－0，（2''）而SM=t，（3''）或因m、M系统水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒，有mV0=（M+m）V共，（4''）（此式实际由牛顿第三定律和m、M各自的动量定理公式即（1''）、（2''）推导而得。）由（1''）（2''）（3''）或（1''）（3''）（4''）或（2''）（3''）（4''）均可解得SM。[解三]功能观点对m据动能定理得－µmgSm=mV共2－mV02，（1'''）对M据动能定理得µmgSM=MV共2－0，（2'''）SM=t，（3'''）Sm=t，（4'''）由（1'''）（2'''）（3'''）（4'''）解得SM。由此可见，针对一个力学问题，我们从不同角度切入，用不同规律求解都能得到同样的结果。那么就以上问题，有没有更便捷的方法呢？如何选择？由于该题是涉及到两个相互作用的物体，所以选择关于系统的规律往往较对每个物体单独分析列式更直接、更简单。另外，已知量、所求量分别是什么，哪些规律是反映这些物理量间的关系，而不涉及其它或在不得不涉及其它未知量时涉及得较少。如果能做到综合各观点，有选择地去应用规律，则可以少绕弯子，少走冤枉路。上题如下列式便特别简单。[解四]综合mV0=（M+m）V共，（1）µmgSM=MV共2－0，（2）由（1）（2）解得SM。若求m、M间的相对位移S相对，将动量守恒（上（1）式）和能量守恒mV02－（M+m）V共2=µmgS相对联立便得。由于题2两物体所受的力均是恒力（或分段后各段中是恒力），所以在用不同观点求解的具体过程中没有障碍。若题目稍微改动一下，比如在此运动过程中物体m还受到一个外界施给的竖直向下、大小不断变化且已知其变化规律的力，其余不变。则m、M间的弹力是变力，滑动摩擦力是变力，此时牛顿第二定律依然成立，加速度随摩擦力变化而变化，其变化规律可求出，m、M都做变加速直线运动，所以解一中的（3'）（4'）式、解二中的（3''）式、解三中的（3'''）（4'''）式都不成立（它们只对匀变速直线运动成立），而实际的速度、位移规律往往因中学数学知识的局限无法求出，只有当加速度与时间成线性关系，即at=a0+kt，a0、k已知时，我们用与课本求匀变速直线运动位移类似的方法求速度，因a随时间均匀变化，=，ΔV=，或画a—t图象，用无限分割逐渐逼近的方法（高等数学的基本思想之一）得ΔV即图线与横轴t所包“面积”，从而求得速度（凡这种一个量是另一量的线性函数，由它们的乘积所决定的量均可如此求出），但位移依然无法求出。所以用力和运动观点无法求出SM。这时m、M的动量定理可表达为－Fft=mV共－mV0、Fft=MV共，其中Ff应是摩擦力对时间t的平均值。动量依然守恒，方程如（1）式不变，但单纯用动量观点无法求出SM。动能定理方程表达为Wfm=mV共2－mV02、WfM=MV共2，若摩擦力的功要表达为FfS，则Ff应是摩擦力对相应S的平均值，此时两物的摩擦力的平均值往往并不相等。单纯用功能观点也无法求出SM。那么走结合的道路，象前述解四那样，但小车所受摩擦力的功如何用SM表达出，若摩擦力与M的位移成线性关系，即Ff=F0+SM，而F0、已知，则利用Ff—SM图象得功为F0SM+SM2，再结合动量观点，则能解出SM，若摩擦力变化着但不具有上述特点，那受数学限制就无能为力了。需要明确的是，此时这些描述运动不同侧面的规律依然客观存在着，只是在具体求解时由于数学原因而不得不放弃某些规律。实际我们遇到的问题是如此纷繁复杂，有单个物体，有涉及相互作用着的多个物体；有的物体所受外力是恒定的，有的物体所受外力是在不断变化（或大小变或方向变或大小、方向都变）着的；有的物体做直线运动，有的则做曲线运动；有的求速度，有的求力，有的求能量等等；有的速度是对地的，有的则是相对运动着的物体（其速度还可能在变化）而言的。我们知道速度、位移、加速度等运动量会随参考系的不同而不同，那么规律中出现的运动量该以谁为参考呢？如果我们能充分领悟以下几点，那么中学阶段遇到的动力问题都能迎刃而解了。当然这些是应中学阶段要求的、浅层次的、对学生较实用的规则经验。一、各观点并非孤立，而有密切的内在联系，它们客观存在着，从不同角度描述动力问题，互相加强、互相补充。解题时注意结合使用。有了这样的认识，你就有足够的信心去面对各种各样的力学问题，就能防止只知道用某一观点、某一规律解决问题而死钻牛角尖，当遭遇此路不通时，应及时更换其它规律来解决，总可以“柳暗花明又一村”。二、无论选什么定理（律）解题，关键是确定研究对象，进行受力分析。牛顿第二定律、动量定理、动能定理中的力均指物体所受的合外力。动量守恒定律、机械能守恒定律都有成立条件，判断守恒与否同样要进行受力分析。应用功能原理时也得受力分析，得出系统所受外力和内力中除重力、弹簧弹力以外的力的功。即使用能量守恒时，也不妨借助受力特点分析出所有参与转化的能量。三、涉及单体，用牛顿第二定律、动量定理、动能定理分析。涉及加速度a，一般用牛顿第二定律求解；涉及时间t，而不涉及a、S，一般用动量定理求解；涉及位移S，而不涉及a、t，一般用动能定理求解。涉及多体，一般选用关于系统的规律，如动量守恒定律、机械能守恒定律，能量守恒定律等求解往往较简单。这些建立广泛的物体间运动量联系的规律，反映问题往往更直接。四、恒力问题，一般三种观点均可解之；变力问题，一般选动量、功能观点求解。应用这些规律时，都得先明确过程始末。用动量定理时，仅需研究过程始末动量变化和平均力的冲量。对于系统，只要符合所受外力之和为零或内力远大于外力的条件，内力作用不管是什么形式：碰撞、分裂、爆炸、化学反应等，大小不管如何变化，动量守恒或近似守恒，从而仅需研究系统在过程始末的总动量即可。用动能定理时，仅需研究过程始末动能变化和各力功的情况，由于功的计算特点，有不少变力功我们能直接求出，如力与运动方向时时垂直，功为零；力大小恒定，与运动方向总同向或反向，功为FS或-FS（S为路程）；如F与S成线性关系，能求出功；如力的功率P恒定，功为Pt；如P与t成线性关系，功亦能求出；等等。功能原理与动能定理并无本质区别，区别仅在于功能原理中引入了重力势能而无需