2019-2020学年山东省菏泽市数学高二下期末综合测试试题含解析

2019-2020学年山东省菏泽市数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形【答案】C【解析】试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.2．已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用f（1）＝0得出a，b的关系，根据f′（x）＝0有两解可知y＝2e2x与y＝2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．【详解】解：∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，∴y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函数图象，如图所示：若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故选：A．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3．已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C．故选A．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．4．观察下列各式：则（）A．28B．76C．123D．199【答案】C【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即考点：归纳推理5．展开式中的系数为（）A． B． C． D．60【答案】A【解析】分析：先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案.详解：展开式的通项公式，可得展开式中含项：即展开式中含的系数为.故选A.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.6．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．【详解】由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为，故选D．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．7．函数f(x)=lnxA． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，排除选项B,D，再利用特殊点的函数值判断即可．【详解】函数为非奇非偶函数，排除选项B,D；当-1<x<0,f（x）<0，排除选项C故选：A．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法．8．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】【分析】由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【点睛】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.9．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．-2 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于对称，得到两个概率相等的区间关于对称，得到关于的方程，解方程求得详解：由题随机变量服从正态分布，且，则与关于对称，则故选D.点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．10．设向量与，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用列方程，解方程求得的值，进而求得的值.【详解】由于，所以，即，而，故，故选B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.11．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.【详解】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.12．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由判断；由判断；由判断判断；由判断.【详解】根据题意，依次分析选项，对于，，错误；对于，，正确；对于，，错误；对于，，错误；故选B．【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．二、填空题：本题共4小题13．某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是________.主视图左视图俯视图【答案】【解析】【分析】根据已知可得该几何体是一个圆锥，求出底面半径和母线长，代入侧面积公式，可得答案．【详解】解：由已知有可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为2，底面半径r＝1，高为3，故母线长l，故圆锥的侧面积S＝πrl，故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间几何体的三视图，圆锥的体积和表面积，难度不大，属于基础题．14．已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________.【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算得出关于、、的方程组，解出即可得出的值.【详解】，，且，所以，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15．《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．【答案】【解析】【分析】连结，交于，可得，即可确定点为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【详解】如图，连结，，连结，交于，可得，由已知可得，所以点为刍甍的外接球的球心，该球的半径为，所以该刍甍的外接球的表面积为．故答案为：【点睛】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．16．已知随机变量，则___________【答案】【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性得出，可得出答案。【详解】由于随机变量，正态密度曲线的对称轴为直线，所以，，故答案为：。【点睛】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心.（1）求正三棱锥的体积；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，根据题意得到底面，，求出，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；（2）取的中点为，连接，，得到，，根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可得出结果.【详解】（1）连接，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心，所以底面，，因此；所以正三棱锥的体积；（2）取的中点为，连接，，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，所以，，又，平面，平面，所以平面；又平面，因此.【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及证明线线垂直，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.18．已知函数，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.【详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，，令，或.列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值，极小值；（Ⅱ）由题意得，（1）当时，令，解得；，解得.（2）当时，①当时，即时，令，解得或；令，解得；②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当时，即当时，令，解得或；令，解得.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1:ρsinθ+π4=22（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C（2）曲线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ>0)，且曲线C3分别交C1，C2于A【答案】（1）x+y=1,ρ2-2ρsin【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；（2）在直角坐标系下求得A点的坐标，可得OB长，即得B的极坐标，代入C2的极坐标方程即可【详解】（1）C1:ρsin由C2:x=acosφy=1+asinφ，消去参数φ得又x=ρcosθ，y=ρsin即C2的极坐标方程为ρ（2）曲线C3的直角坐标方程为y=x(x>0)，由y=xx+y=1，得OA=22，OB=22.即点B的极坐标为2【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是基础题．20．在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门.（1）小李同学共有多少种不同的选科方案？（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率.【答案】（1）小李同学共有7种不同的选科方案（2）【解析】【分析】(1)运用排除法求解；(2)列出两位同学相同的选科方案，求比值可求解.【详解】解：（1）在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为，在化学、政治、历史任意选两门的方法数为，，因此，小李同学共有7种不同的选科方案；（2）小吴同学有4种不同的选科方案，小吴同学与小李同学两人选科的方案共有种，其中两人选科相同的方案只有1种，因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为.【点睛】本题考查有条件的组合问题，属于基础题.21．随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，下表是西南地区某大学近五年的录取平均分与省一本线对比表：年份20142015201620172018年份代码12345省一本线505500525500530录取平均分533534566547580录取平均分与省一本线分差y2834414750（1）根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年的录取分数X服从正态分布，其中为当年该大学的录取平均分,假设2019年该省一本线为520分，李华2019年高考考了569分，他很喜欢这所大学，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给李华一个合理的建议.（第一志愿录取可能性低