苏教数学选修2-1课件：第2章2.32.3.2双曲线的几何性质

圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质

学习目标核心素养了解双曲线的简单几何性质.（重点）会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等.（重点）3•知道椭圆与双曲线几何性质的区别.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养.借助性质的应用，提升数学运算素养.1^嘗l知匚新级初探二双曲线的简单几何性质

性质隹占小、八、、F[(—c,0),後(°0)F〔(0,—c) ,/~2(0,c)焦距2c范围x<—a或x>a,庐—日或y>a,r_对称轴x轴，y轴对称中心原点

性质顶点力1（一8,0）,坨佝°）Ay(0,—a),/42(0,a)轴实轴：线段也，长：2a：虑轴：线段恥2,长：2b；实半轴长：a,虚半轴长：b离心率e=-E⑴+")a渐近线bay=±hx等轴双曲线⑴实轴和虑轴等长的双曲线叫做等轴双曲线•(2)性质：①等轴双曲线的离心率£=辽；②等轴双曲线的渐近线方程为)=旦，它们耳相垂直.33思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？［提示］(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同.c2用b(加三=1+£丫是渐近线的斜率或其倒数.aaa匚初试身手二221・双曲线1的渐近线方程是（）A.4A.B.C.3yC.3y=±ix9D・尸土卩C［双曲线的焦点在x轴上，且。=2,0=3,因此渐近线方程为2.双曲线~y2=i的顶点坐标是（）A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(一4,0),(4,0).]Fv2 A3若双曲线j-~=l（m>0）的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是 •（―巾,0）,（训,0）［由双曲线方程得岀其渐近线方程为y=±丰22X,/.m=3,求得双曲线方程为扌一片=1，从而得到焦点坐标为（一巾，0)，付7,0).]TOC\o"1-5"\h\z/V 4已知双曲线厂令=1@>0，0>0）的一条渐近线方程为尸尹则双曲线的离心率为 •5 4 04|［因为渐近线方程为尸刍，所以汽，所以离心率严F严严护由双曲线的方程求其几何性质由双曲线的方程求其几何性质由双曲线的方程求其几何性质由双曲线的方程求其几何性质【例1】求双曲线9/-4?=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作岀草图.［思路探究］本题给岀的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求岀基本量b,c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴.［解］将9/-4?=-36变形为+-$=1,22即所以。=3,/?—2,c—a/13>因此顶点坐标儿（一3,0）,A2（3,0）,焦点坐标F］（-宾,0）,F2（713,0）,实轴长是2〃=6,虚轴长是2b—4t作草图，如图所示:规律方扶用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1・将双曲线方程化为标准方程形式;判断焦点的位置；写岀『与沪的值；写出双曲线的几何性质.1.求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率.)22［解］将方程x2_3y2+12=0化为标准方程为寸一令=1,・方=4,fe2=12,A«=2,0=2诵，・：c二站APP二倔=4,・••双曲线的实轴长2a=4f虚轴长20=4谄，焦点坐标为片(0,一 力-4),F2(0,4),顶点坐标为Ai(O,-2),A2(0,2),渐近线方程为y=±专X?禺心率£=2・\类型2丿求双曲线的标准方程—丄 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程.两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±寺；与双曲线?-2/=2有公共渐近线,且过点M(2,-2).［思路探究］利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双222［解］(1)设以直线y=±jx为渐近线的双曲线方程为忍H0),LQ当久＞0时，『=4几・：2a=2pU=6=U=〒a••211ITy84a••211ITy8422(2)设与双曲线|-/=1有公共渐近线的双曲线方程为y-y2=竝HO),22将点(2,一2)代入双曲线方程,得(―2)2=—2.0肄方进0肄方进双曲线方程的求解方法1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给岀的条件，确定焦点所在的位置，然后设岀标准方程的形式，找岀a,0,c的关系，列岀方程求值，从而得到双曲线的标准方程.222.以丁=土令为渐近线的双曲线方程可设为和—$=皿工0），以此求双曲线方程可避免分类讨论.2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.13⑴一个焦点为(0,13),且离心率为§；(2)渐近线方程为『=±扣且经过点A(2,-3).［解］(1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且尸13,光=13T,, V2X2・：a=5,b=\fU=12,故其标准方程为名-帀=L⑵法_；・・•双曲线的渐近线方程为『=±討TOC\o"1-5"\h\zX2/ A若焦点在X轴上，设所求双曲线的标准方程为厂产3°'nlb1 ①b>0),臨p49 ①・.・A(2,-3)在双曲线上，适一产L由①②联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为〒一糸=1@>0,fc>0),则得. ③94VA(2,—3)在双曲线上，•:/—卩=1・ ④由③④联立,解得『=8,b2=32.22・・・所求双曲线的标准方程为令一令二1.-),2=2(2/0).7A(2,—3)在双曲线上,22 c•：*—(—3)2二舟即2二_&••求双曲线的离心率及其取值范围【例3】（1）设Z\ABC是等腰三角形，ZABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 •22（2）5知双曲线*一*=1@>0,0>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.［思路探究］⑴根据图形并由双曲线的定义确定。与C的关系，求岀离心率；（2）可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有+^tan60°.]+3(1)2[由题意2c~AB=BCf・・・AC=2X2cXsin60°=2©c,由双曲线的定义，有2a=AC~BC=2,\ljc~2c^a=(\l?)~l)c,.c11+亿・・_厂诃―1_2」(2)［解］因为双曲线渐近线的斜率为直线的斜率为tan60°=^3,故有诵,所以W=\ =2,a\!a'所以所求禺心率的取值范围是［2,+°°).规律方址 双曲线离心率的求法求双曲线的离心率就是求0和C的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求Q,0,C三者中两者的关系，进而利用c2=a2+b2进行转化.求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑:(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成.(2)通过判别式/>0来构造•(3)利用点在双曲线内部形成不等关系.(4)利用解析式的特征，如C>Q,或C>0.⑥跟踪躅22己知片，几是双曲线》一寻=1©>0,0>0)的两个焦点，PQ是经过片且垂直于兀轴的双曲线的弦，如果ZPF22=90°,求双曲线的离心率.22［解］设Fi(c,O),将尸c代入双曲线的方程得》一卜1，那么yb2=±—由”2=旷2,ZW=90°,.®购)弓|-H9儘弓+n3・・・0^■0巴—3xz—".・・0H\—占—飞••(JDcDeHq・.・cCH——..・匚课堂小结二渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的22标准方程*一令=1@〉0,0〉0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by=0变为『『一b2y2=^0),再结合其他条件求得几可得双曲线方程.准确画岀几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画岀它的近似图形.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)⑴双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点.(等轴双曲线的渐近线是y=±x.()双曲线的实轴长一定大于虚轴长.()［答案］(1)V(2)7⑶X22己知双曲线冷一寸=1@>0)的离心率为2,则a=(A.2D.1D••寸『+3=2a，•：『+3=4『，•：°2=1,•：a=L]若双曲线的渐近线方程为y二±3x,它的一个焦点是0),则双曲线的方程是 ・2X2-^=l[双曲线的焦点在X轴上，则(?=価,h—=3・又:F+02=c2,解得°2=i,护=9,a•:方程为X2-g-—1.]求适合下列条件的双曲线的标准方程.焦点在兀轴上，虚轴长为8,离心率为*两顶点间的距离是6,两焦点的连线被两顶点和中心四等分.22［解］⑴设所求双曲线的标准方程为审-討1,由题意知20=8,CS 5£=厂3