数学-吉林省吉林市普通高中2024届高三第四次模拟考试试题和答案

第1页/共5页x吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题x用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四1.复数z=sin1+icos1在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x-1,x<1,若f(a)=1，则实数a的值为()A.1B.4A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.若互不相等的正数a,b,c满足2b=a+c，则()A.lna,lnb,lnc成等差数列B.lna,lnb,lnc成等比数列C.ea,eb,ec成等差数列D.ea,eb,ec成等比数列5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+父)上单调递增的是()A.f(x)=x-B.f(x)=tanxC.f(x)=x3-D.f(x)=lnx6.已知圆锥的侧面积是4π,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为()ABCD第2页/共5页7.已知圆C:x2+y2=1与x轴交于F1,F2两点，点P在直线l:x-y+4=0上，若以F1,F2为焦点的椭圆过点P，则该椭圆的离心率的最大值为()A.B.C.D.8.已知c,β为锐角，且cos(c+β)=2sinβsinc,则tanβ的最大值为() AB.C.D.多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.}，则()}D.N*（B的子集个数为210.在-26的展开式中，下列说法正确的是()A.各二项式系数的和为64B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项D.常数项是第4项11.如图1，在等腰梯形ABCD中，ABDC，且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿BD将△ABD翻折，使得点A到达A,的位置，构成三棱锥A,-BCD（如图2则()A.在翻折过程中，A,D与BC可能垂直B.在翻折过程中，二面角A,-BC-D无最大值C.当三棱锥A,-BCD体积最大时，A,D与CO所成角小于 π 3D.点P在平面A,BD内，且直线PC与直线BC所成角为，若点P的轨迹是椭圆，则三棱锥A,-BCD的体积的取值范围是,第3页/共5页第二个空填对得3分.13.“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用A1,A2,…,A16表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线=（结果用m表示）.14.已知拋物线E:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线E交于A,B两点，过A,B作x轴垂线，垂足分別为A1,B1，直线AB1与直线l交于P点，则ΔPAB与△PA1B1的面积比值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算15.已知ΔABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosB-bcos2A=c.（1）求A；（2）AB在AC方向上的投影向量是3AC,a=，求ΔABC为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.第4页/共5页（1）证明：平面AEF」平面PAD；（2）若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.17.已知点F(2,0)，直线l:x=1，动圆P与直线l相切，交线段PF于点M，且PF=PM.（1）求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；（2）过点F且倾斜角大于的直线l,与y轴交于点M，与P的轨迹相交于两点M1,M2，且=λ=μ(λ,μeR)，求λ+μ的值及+的取值范围.18.短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值C=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.（i）求经过i次传递后球回到甲的概率；（ii）记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.第5页/共5页+d；EXi=E(Xi)a0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数f(x)=.（1）讨论f(x)的单调性；（2）设m,n分别是f(x)的极小值点和极大值点，记M(m,f(m)),N(n,f(n)).（i）证明：直线MN与曲线y=f(x)交于除M,N外另一点P；（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值t=(a,a+1)且a=Z，使MN=tPN，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.第1页/共25页吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四1.复数z=sin1+icos1在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.【详解】由复数的几何意义知，复数z=sin1+icos1在复平面中对应点Z(sin1,cos1)，所以点Z位于第一象限.故选：A.(2x-1,x<1,2.已知f(x)=〈|若f(a)(2x-1,x<1,A.1B.4【答案】B【解析】【分析】分a<1和a之1，求解f(a)=1，即可得出答案.第2页/共25页故选：B.A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态分布性质可得故选：D.4.若互不相等的正数a,b,c满足2b=a+c，则()A.lna,lnb,lnc成等差数列B.lna,lnb,lnc成等比数列C.ea,eb,ec成等差数列D.ea,eb,ec成等比数列【答案】D【解析】判断ea,eb,ec成等比数列.所以ea,eb,ec成等比数列.故选：D5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+伪)上单调递增的是()【答案】C【解析】第3页/共25页【分析】利用奇函数的定义f(-x)=-f(x)，即可判断四个选项的奇偶性，只有B、C是奇函数，又正切)上不是单调递增函数，而函数f(x)=x3-的导函数恒大于零，所以只有C正确.【详解】对于Af(-x)=(-x)-=(x)-x)为偶函数，故A错误；对于Bf(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)，\f(x)为奇函数，又f(x)=tanx在(0,+伪)不满足单调递增定义，所以B错误；对于Cf(-x)=(-x)3-=-(x)3+=-f(x)，\f(x)为奇函数，f,(x)=3x2+>0，\f对于D，y=lnx是非奇非偶函数，所以D错误.故选：C.6.已知圆锥的侧面积是4π,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知：〈lπ第4页/共25页故选：D.7.已知圆C:x2+y2=1与x轴交于F1,F2两点，点P在直线l:x-y+4=0上，若以F1,F2为焦点的椭圆过点P，则该椭圆的离心率的最大值为() -1-A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出点F2(1,0)关于直线1:x-y+4=0对称的点F,的坐标，结合两点之间线段最短，即可求出a的最小值，由此即可求出离心率的最大值.【详解】由题意可知直线1与椭圆有交点P，设点F2(1,0)关于直线1:x-y+4=0对称的点为F,(m,n)，第5页/共25页 则该椭圆的离心率的最大值为17.2故选：B.8.已知c,β为锐角，且cos(c+β)=2sinβsinc,则tanβ的最大值为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解.【详解】因为c，β为锐角，且cos(c+β)==cosccosβ-sincsinβ,两边同时除以cosβ得，cosc-sinctanβ=，:coscsinc=(sin2c+2)tanβ,Qc为锐角，:tanc>0，当且仅当3tanc=，即tanc=时取等号，:tanβ最大值为.故选：A.多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.}，则()}D.N*（B的子集个数为2【答案】BCD【解析】第6页/共25页【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可.对于D项，因为N*nB={1}，所以N*nB的子集为⑦、{1}共2个，故D项正确.故选：BCD.10.在-26的展开式中，下列说法正确的是()A.各二项式系数的和为64B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项D.常数项是第4项【答案】AB【解析】【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式-26展开式的系数的绝对值和与二项式6的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项；【详解】在-26的展开式中，各二项式系数的和为26=64，故A正确；各项系数的绝对值的和与+26的各项系数和相等，令x=1，可得各项系数的绝对值的和为36展开式的通项为Tr+1=C6-r(-2)r=(-2)rCxr-6，(3)(3)所以有理项有4项，故C错误；令r-6=0，得r=4，所以常数项是第5项，故D错误.故选：AB.第7页/共25页11.如图1，在等腰梯形ABCD中，ABDC，且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿BD将ΔABD翻折，使得点A到达A,的位置，构成三棱锥A,一BCD（如图2则()A.在翻折过程中，A,D与BC可能垂直C.当三棱锥A,BCD体积最大时，A,D与CO所成角小于 π 3D.点P在平面A,BD内，且直线PC与直线BC所成角为，若点P的轨迹是椭圆，则三棱锥A,一BCD的体积的取值范围是,【答案】AC【解析】【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当A,O」OC时可证平面A,BD」平面BCD，从而可证A,D」BC，判断A；且此时二面角A,一BC一D取得最大值，判断B；还是此时，当三棱锥A,BCD体积最大，可求异面直线A,D与CO所成角，判断C；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角A,BDC的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥A,BCD的体积的取值范围，判断D.【详解】如图1：沿BD将ΔABD翻折，则A点轨迹为一个圆，且圆面一直和BD垂直，如图：第8页/共25页所以A,O」平面BCD，A,O一平面A,BD，所以平面A,BD」平面BCD，又BC一平面BCD，平面BCDn平面A,BD=BD，BC」BD，所以BC」平面A,BD.A,D平面A,BD，所以A,D」BC.故A正确.的最大值，故B错误；此时三棱锥A,一BCD的高等于A,O，高取得最大值，又底面BCD不变，所以三棱锥A,一BCD的体积最大.如图：取A,B中点E，连接OE，CE，则经OCE即为一面直线A,D与CO所成角，对D：点P在平面A,BD内，且直线PC与直线BC所成角为，若点P的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角A,一BD一C应该在,之间取值，且不能 当二面角A,BDC=或时，VA,BCD=xxπ所以点P在平面A,BD内，且直线PC与直线BC所成角为，且点P的轨迹是椭圆时，6VA,BCDe故选：AC第9页/共25页【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）.第二个空填对得3分.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得m的值，从而可求模长.2故答案为：.13.“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用A1,A2,…,A16表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线=（结果用m表示）.【解析】【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达A2、A3、A4、A5、A6的走法即可.由题意可知数列{an}第10页/共25页为斐波那契数列，即an+an+1=an+2（1<n<14且nEN*结合累加法求解即可.【详解】由题意知，到达A2点共有1种走法，到达A3点共有1+1=2种走法（一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3到达A4点共有1+2=3种走法（一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4将A2、A3的走法加起来到达A5点共有3+2=5种走法（一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5将A4、A3的走法加起来=8种走法（一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6将A4、A5的走法加起来故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线.3242534nn+2<14且nEN*242n1+a2n<7且nEN*62n3572n+11nEN*62n2n+162n2i14.已知拋物线E:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线E交于A,B两点，过A,B作x轴垂线，垂足分別为A1,B1，直线AB1与直线l交于P点，则PAB与△PA1B1的面积比值为.【答案】1【解析】第11页/共25页再求出P点坐标，讨论点A在点B的右侧或左侧，表示出S‘PAB=y2(1+x1)，所以S‘PAB()y2S‘PAB()y2y12【详解】依题意作示意图如下图，图一为点A在点B的右侧，图二为点A在点B的左侧，2，则直线AB1与直线l不相交，故x1子x2，联立直线AB与抛物线的方程有：〈2，ly=4x（x2x1)（x2x1)所以S‘PA1B1=A1B1y0=y1(1+x而对于‘PAB，当点A在点B的右侧，根据图象可知，当点A在点B的左侧，根据图象可知，‘2S‘PA1B1y1(1+x2)y2(1+x1)， (1+my2y12y2+my1y22y12y2+my1y22y14m2y12y14m2y14m故答案为：1.第12页/共25页【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设直线AB的方程为：x=my+1，联立直线AB与抛物线的方程求得y1=4m,y1.y2=4，再求出P点坐标，讨论点A在点B的右侧或左侧，表示出y2y1y2y1SΔPAB四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算（1）求A；（2）A在A方向上的投影向量是3AC,a=，求ΔABC的面积.3【解析】【分析】（1）由acosB一bcos2A=sinBcos2A=cosAsinB求解；AC2（2方法一）由A在A方向上的投影向量ABcos<AB,AC>A=3ACAC2ccosA2 再利用余弦定理求得b=3,c=4即可方法二过B作BD」AC，设DC=t，在RtΔBDC中，由BD2+DC2=BC2=13求解.【小问1详解】解：由正弦定理得sinAcosB一sinBcos2A=sinC，即sinBcos2A=cosAsinB，第13页/共25页22又AE(0,π),：A=.【小问2详解】（方法一）在方向上的投影向量为ABcos<AB,AC>=3AC2+b22b.b.=b2，（方法二如图所示：过B作BD」AC，垂足为D，则为在方向上的投影向量，第14页/共25页为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.（1）证明：平面AEF」平面PAD；（2）若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得AE」AD，PA」AE，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得EF//平面PCD，则点E到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离.方法一：以A为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法VPEDC=VEPCD计算即可.【小问1详解】证明：连接AC，如图所示，：PA」平面ABCD,：PA」AB,PA」AC，又：E为BC中点，则AE」BC，且AE=EC=2，：AD=CD=2,：四边形AECD为正方形AE」AD，：PA」平面ABCD,AE一平面ABCD,：PA」AE，又：ADnPA=A，AD、PA一平面PADAE」平面PAD，又：AE一平面AEF,：平面AEF」平面PAD.【小问2详解】：在ΔPBC中，E,F分别为BC,PB中点EF∥PC，又EF丈平面PCD,PC一平面PCDEF//平面PCD，：点E到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离，（方法一）：PA」AD,PA」AE,AE」AD，：以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A一xyz，如图所示，yy(x,y,z)是平面PCD的法向量，(0,2,1)是平面PCD的一个法向量，第15页/共25页第16页/共25页即直线EF到平面PCD的距离为.（方法二）连接ED、PE，如图所示，:△EDC为等腰直角三角形，：S△EDC=x2x2=2，：VPEDC=SΔEDC.PA=x2x4=，设E到平面PCD距离为d，则VP一EDC=VE一PCD=S△PCD.d，即EF到平面PCD的距离为.17.已知点F(2,0)，直线l:x=1，动圆P与直线l相切，交线段PF于点M，且PF=PM.（1）求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；（2）过点F且倾斜角大于的直线l,与y轴交于点M，与P的轨迹相交于两点M1,M2，且=λ=μ(λ,μER)，求λ+μ的值及+的取值范围.第17页/共25页【答案】（1）-=1，点P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长、虚轴长均为2的等轴双曲线.【解析】【分析】（1）设点P(x,y)，根据PF=PM列出等量关系整理可得；（2）设直线l,:x=my+2，联立双曲线方程，利用韦达定理结合FM=λFM1=μFM2，可得λ+1值及【小 值及【小 + 1的取值范围.μ详解】设点P(x,y)，圆P的半径为r,d为P到直线l的距离，则d=r.根据题意，动点P的轨迹就是点的集合果:=x-1即(x-2)2+y2=2(x-1)2，整理得-=1.所以，点P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长、虚轴长均为2的等轴双曲线.【小问2详解】：倾斜角大于:me(-m,-1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2),M第18页/共25页.y22.y22由题知，双曲线的焦点F(2,0)，4m22m22 m21m22m22 m21m21 +=λμ2λμ18.短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值C=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.（i）求经过i次传递后球回到甲的概率；（ii）记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.+c+d；EXi=E(Xi)第19页/共25页a0.10.050.010.0050.001Xa2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，无关m【解析】【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可；（2i）设经过i次传递后回到甲的概率为Pi，求出关系式，得到通项公式ii）方法一：设第i次传递时甲接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，E(Yi)=Pi，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，利用公式求期望即可.方法二：设第i次传递时，乙接到球的概率和次数分别为qi与Xi，则Xi服从两点分布，E(Xi)=qi，利用公式求期望即可.【小问1详解】将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200300北方游客200合计280220500零假设H0：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联.22根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【小问2详解】第20页/共25页（i）设经过i次传递后回到甲的概率为Pi，P-1)-1-1-，又Pi-1.（ii方法一）设第i次传递时甲接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，E(Yi)=Pi，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，mm4(1)mm44m.（方法二）设第i次传递时，乙接到球的概率和次数分别为qi与Xi，则Xi服从两点分布，E(Xi)=qi，由题可知qi=1-qi-1)，qi-=-qi-1-，11(1)i-111(1)i-1 -根551-根4||1-根4||,第21页/共25页m.【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii）的解决关键是，根据题意得到Pi,Pi-1的关系，利用构造法分析出19.已知函数f(x)=.（1）讨论f