安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月模拟数学试题一、选择题1.已知复数，则的共轭复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故选：D2.已知集合，，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，又，所以，故选:C.3.已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗选项A：根据给定条件有或；选项B：根据给定条件有或；选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内；选项D：因为，所以存在直线使得，又因，所以，因为，所以.故选：D.4.已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，时，，由，，得公比，所以，故，所以.故选：A．5.已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（）A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项〖答案〗C〖解析〗由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，故最大，因此第七项的系数最大，故选：C．6.已知函数且有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数且有两个零点，所以且有两个零点，即函数的图像与直线有两个公共点，当时，由图①得1，故；当时，由图②得，不符合题意.，故选：A7.已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面积的最大值为，故选：C．8.已知函数满足，当时，，则（）A.为奇函数 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗令，，，所以；令，，则．令，得，故为偶函数．A错误，任取，，，则，则，故在上为减函数．由已知，可得，故，解得，且．B错误，若，则，C正确，若，则，，，所以，故D错误，故选：C．二、选择题9.已知函数（，）的部分图象如图，则（）A. B.函数的图象关于轴对称C.函数在上单调递减 D.函数在有4个极值点〖答案〗BD〖解析〗A:由图可知的周期为：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A错误；B：由A的分析知，所以因为为偶函数，故B正确；C：由，得，故在上单调递增，故C错误；D：因为，，，，故D正确.故选：BD.10.已知双曲线：（，）左右焦点分别为,，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（）A.双曲线的方程为B.的面积为C.以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D.以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切〖答案〗BD〖解析〗由已知得，由双曲线定义知：，因为，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程为，A错误.的面积为，B正确.取的中点，，两圆内切，故C错误.取的中点，则，两圆外切，故D正确.故选：BD11.已知正方体的棱长为1，，分别为棱，上的动点，则（）A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为〖答案〗BCD〖解析〗A：因为的面积为，到平面的距离不是定值，所以四面体的体积不是定值，故A错误；B：因为的面积为，P到矩形的距离为定值，所以到平面的距离为，则四面体的体积为，故B正确；C：当Q与重合时，取得最大值，为，当与重合时，到平面的距离d取得最大值，在正中，其外接圆的半径为，则，故四面体的体积最大值为，故C正确；D：过点作，，，设，，则，，，，，，故四面体的体积为，其最大值为，故D正确．故选：BCD三、填空题12.一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．〖答案〗37.5〖解析〗从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位数是．故〖答案〗为：37.513.已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为________，的面积为________（为坐标原点）．〖答案〗〖解析〗因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为，则，得直线的方程为，与联立整理得，设，故，，故的面积为．故〖答案〗为：；14.已知函数，当时最大值与最小值的和为________．〖答案〗〖解析〗，当时，，递增；当时，，递减；，，，故最大值与最小值的和为：．故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数.（1）求函数在点处切线方程；（2）求的单调区间和极值.解：（1）函数，求导得，则，解得，于是，，所以所求切线方程为：，即.（2）由（1）知，函数，定义域为，求导得，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以函数的递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.16.为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0.据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：学生获胜概率0.40.60.8获胜积分654（1）求甲班至少获胜2场的概率；（2）记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望．解：（1）记，，参赛获胜事件分别记为，，表示，参赛失败分别记为，，，所以，，，，，则甲班至少获胜2场事件记为，则所以甲班至少获胜2场的概率为0.656；（2）由已知取值为0，4，5，6，9，10，11，15，，，，，，，，，所以.17.将正方形绕直线逆时针旋转，使得到的位置，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面平面；（2）点为上一点，若二面角的余弦值为，求．（1）证明：由已知得平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，因为是正方形，所以，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图.设，，则，，，，故，，设平面的法向量为，则，故，取，则，所以设平面的法向量为，，故，取，则，所以，所以，由已知得，化简得：，解得或（舍去）故，即.18.已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．（1）①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；（2）若点在圆上，求面积的最大值．（1）证明：①当斜率存在时，，设方程为：与：联立整理得：，由已知得：，化简得：因为，则，即，所以，方程为：，即，则，故直线的方程为当斜率不存在时，，直线的方程为或满足上式.；所以直线的方程为；②由①知，设点坐标为，则直线的方程为，由点的坐标为，则，，则，两点都在直线上，由于两点确定一条直线，故直线的方程为；（2）证明：由（1）知直线的方程为，由题意知，与：联立整理得：因为，所以因为，，则，，所以，点到直线的距离为：，所以面积，当时，令，所以，故在单调递增，所以的最大值为，由对称性可知当时，的最大值也为，故面积的最大值为.19.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量（称为行向量形式），也可以写