福建省龙岩市一级校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省龙岩市一级校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）1.复数的实部为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗，实部为.故选：B.2.若向量，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量，，所以.故选：C.3.有一个水平放置的多边形斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，，则原多边形面积为（）A. B. C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗根据题意，可得直观图的梯形中，，可得，由斜二测画法的规则，可得原多边形为直角梯形，则，所以原图形的面积为.故选：B.4.已知，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，且与的夹角为，所以，所以在上的投影向量为.故选：A.5.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，可得，因为，可得，所以.故选：A.6.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺〖答案〗D〖解析〗依题意，该柱体的体积为立方尺.故选：D.7.如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗在三角形中，，，由正弦定理得，，在三角形中，，所以，所以，由余弦定理得海里.故选：B.8.已知正六棱锥侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得正六棱锥的高为，设正六棱锥的外接球的球心到底面的距离为，设外接球半径为，则，，解得，设外接球的球心为，则即为正六边形的中心，连接，过作交于，过作交于，因为底面，底面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，即为球心到平面的距离，因为，，所以在中由等面积法可得，解得，因此点到平面的最大距离为，因为，所以三棱锥体积的最大值为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求.）9.下列命题中，真命题有（）A.若复数，满足，则且B.若复数，则C.若，则复平面内对应的点位于第一象限D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线〖答案〗BD〖解析〗当，时，且，，故选项A错误；设，则，可得，故选项B正确；，则，对应的点位于第三象限，故选项C错误；设z在复平面内对应的点为，且，，表示到点距离，表示到点距离，又，则，所以点轨迹为线段的垂直平分线为直线，故选项D正确.故选：BD.10.下列说法中正确的是（）A.已知两直线平行于平面，那么直线一定平行B.若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线C.若直线不平行于平面，则平面内的所有直线均与a异面D.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内〖答案〗BD〖解析〗A选项，直线平行于平面，可能平行、异面、相交，A选项错误；B选项，由于，所以在内与平行的直线（异于），都与平行，B选项正确；C选项，若直线不平行于平面，如，则内有无数条直线与平行，所以C选项错误；D选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，所以D选项正确.故选：BD.11.若的内角的对边分别为，则下列说法中正确的是（）A.若，，，则有两组解B.在中，已知，则是等腰或直角三角形C.若，则D.若为锐角三角形，且，，则面积的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由正弦定理得，则，或，同时，所以三角形有两组解，A选项正确；B选项，依题意，则为锐角，由正弦定理得，，所以，，则或，所以或，所以三角形等腰或直角三角形，B选项正确；C选项，当时，如，，满足，但，所以C选项错误；D选项，由正弦定理得，由于三角形是锐角三角形，所以，解得，所以，即，由三角形的面积公式得，所以D选项正确.故选：ABD.12.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，F为边AB的中点．若E为边CD上的动点，则（）A.当E为边CD的中点时， B.C.三角形EAB面积的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗F为边中点．若E为边上的动点，，，，，，故选项A正确；连接，由，可得，又，可得，则，所以直角三角形中，当与重合时，在三角形DAF中由余弦定理可得，，此时，，，故选项B错误；当在位置时点到直线距离最短，此时三角形EAB面积取得最小值，，故选项C正确；，当时最小，此时过作，垂足为，在直角三角形中由于，所以，可得，所以的最小值为，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分.）13.设向量，不平行，，，，若三点共线，则______．〖答案〗〖解析〗，，由于三点共线，所以存在使，即，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知一个正三棱锥的侧棱为，其底面是边长为2的等边三角形，则此正三棱锥的高为______．〖答案〗〖解析〗如下图所示正三棱锥，三角形是等边三角形，顶点在底面的射影是的中心，设为，则平面，设是的中点，则三点共线，且，由于平面，所以，，所以.故〖答案〗为：.15.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______．〖答案〗〖解析〗依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，因为，，，所以，则，，即为向量与的夹角，，，，.故〖答案〗为：.16.如图，设的内角所对的边分别为，，且，若是外一点，，，则当四边形的面积最大时，______．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理得，可得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，又因为，所以，在直角中，设，则，在中，由余弦定理可得，因为，代入上式可得，所以，所以四边形的面积为，（其中），所以当时，四边形的面积取得最大值，此时，所以.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知复数，．（1）当m取何值时，z为纯虚数？（2）当时，求的值．解：（1）若为纯虚数，则，解得.（2）当时，，所以，所以.18.如图所示，在四边形ABCD中，，，，，E为AB的中点，连接DE．（1）将四边形ABCD绕着线段AB所在直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；（2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积．解：（1）依题意，，，所以四边形是直角梯形，，将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，表面积为，体积为.（2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，是圆锥，如图所示，设的内切圆半径，也即圆锥W的内切球的半径为，，则，解得，所以内切球的表面积为.19.如图所示，平行四边形中，，，分别是的中点，为线段上的一点，且．（1）以为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角，求．解：（1）；.（2），，与的夹角，，.20.已知的三个内角的对边分别是，且满足．（1）求角的值；（2）若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积．解：（1）在中，由正弦定理可得，即，因为，可得，即，又由余弦定理可得，可得，即，因，所以.（2）因为为角的角平分线，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又因为，所以，因为，所以，即，因为为中线，所以，即，即，所以，，所以的面积为.21.已知在中，，，，.（1）求的取值范围；（2）若线段BE上一点D满足，求的最小值.解：（1）因为在中，，，，，所以，当时，则取得最小值为，当时，则取得最大值，所以，所以取值范围为.（2）因为且，，所以，又，所以，因为B、E、D三点共线，所以，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.22.对于任意平面向量，则绕其起点沿逆时针方向旋转角得到的向量为，已知