甘肃省定西市2024届高三下学期教学质量统一检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省定西市2024届高三下学期教学质量统一检测数学试题一､选择题1若向量，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得.故选：A.2.的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，所以，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选：B.3.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以的共轭复数为.故选：B.4.已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗设点到直线的距离为，则，又，所以．故选：A5.函数图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，因为，令，得，或，则时，，时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以选项A符合题意,故选：A.6.已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值〖答案〗D〖解析〗依题意，设，则，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，即，即，所以，故D正确，显然ABC错误.故选：D.7.已知函数的部分图象如图所示,，则（）A.4 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由图象可知，则，因为，所以，所以，由，得，即，因为，所以，则，则，因为，，所以，解得（负根舍去），所以，故.故选：B.8.在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，因为在矩形中，，所以，因为底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.因为，所以，解得(负根舍去)，所以.故选：D.二､多选题9.设集合，则（）A.B.的元素个数为16C.D.的子集个数为64〖答案〗BCD〖解析〗对于ABC，因为，所以，即，所以有个元素，故A错误，BC正确；对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，则（）A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，只有1个零点C当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点〖答案〗BD〖解析〗令，得，利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示，由图可知，当有2个零点时，或，此时无零点或只有1个零点，故A错误；当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确；当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确.故选：BD.11.下列命题为真命题的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗设，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，对于AB，，所以的最小值为，故A错误，B正确；对于CD，，所以的最小值是，故C正确，D错误.故选：BC.三､填空题12.在中，角的对边分别为，且，则__________，〖答案〗〖解析〗因为，则，所以由正弦定理可得.故〖答案〗为：.13.已知某厂甲､乙两车间生产同一批衣架，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲､乙车间的优品率分别为．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为__________．（用百分数表示）．〖答案〗〖解析〗设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品，由题可得：，故.故〖答案〗为：.14.提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______种.〖答案〗6120〖解析〗假定涂色顺序为若、涂相同颜色，则有种涂法；若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法；若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法；故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种.故〖答案〗为：6120.四､解答题15.甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立，（1）求该比赛三局定胜负的概率；（2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为，求的分布列与数学期望.解：（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢，则该比赛三局定胜负的概率为.（2）依题意，的可能取值为2，3，4，则，，，则的分布列为234故.16.如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且.（1）证明：.（2）求二面角的正弦值.（1）证明：因为分别为的中点，，所以，又，所以，则，又平面，平面，所以，故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，故，则，所以，则，即.（2）解：设平面的一个法向量为，因为，所以，取，则，故，易知平面的一个法向量为，设二面角为，则，所以.所以.17.在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，（1）计算；（2）设数列满足，求的通项公式；（3）设排列满足，求，解：（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以，所以.18.设函数，（1）证明：.（2）当时，证明：.证明：（1）因为，其定义域为，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，证毕.（2）当时，，而，要证，即证，即证，设，则，当时，，则在上单调递增，且，当时，，故只需证明，由（1）知，在上成立，故，即成立.19.双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线的方程，（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，