广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试题一、选择题1.常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．故选：B．2.已知集合，，则（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因为，二次函数，当且仅当时取等号，所以，所以.故选：D.3.三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数，，的零点，即函数,,,的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出，,,的图象，由图象可知，．故选：B．4.如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗作出示意图，设与物体平衡的力对应的向量为，则，以为对角线作平行四边形，则，是绳承受的拉力大小，由，得，所以，中，由正弦定理得，即，可得，结合，可知当时，达到最小值10综上所述，当角时，绳承受的拉力最小.故选：C5.若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗把函数的图象向左平移个单位后得到，，则，即，即，该方程对任意恒成立，则，解得．故选：C．6.据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8〖答案〗C〖解析〗因为原来的经验回归方程为，且平均数，所以，因为去除的两个样本点和，并且，，所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，可得，解得．故选：C．7.某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，从8人中选出人，有种选法，分种情况讨论：①选出的人中有名男生和名女生，有种选法，②选出的人中有名男生和名女生，有种选法，则两队中均有男生的概率．故选：D．8.已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，所以，设,，，则，,，由恒是锐角，得，又，，不等式可化为：，整理得：，只需，解得．故选：C．二、选择题9.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，则，解得，即，故A正确；对于B，，，满足，但，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，则，即，即，故D正确．故选：ACD．10.已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（）A.若取，，则B.满足题意的也必是一个等比数列C.在的前100项中，的可能项数最多是6D.如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列〖答案〗AB〖解析〗因为数列的通项公式为，对于A，取，，则，，由于为等比数列，则，则有，即，故A正确；对于B，数列的通项公式为，则，若为等比数列，即，，，，，是等比数列，则，，，，，，是等比数列，故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确；对于C，在的前项中，可以取，，，，，，，可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误；对于D，取，，则，则，不是数列项，所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误．故选：AB．11.如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（）A.以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为B.若P到点M和点N距离相等，则点P的轨迹是一条直线C.若P到直线MN的距离为1，则的最大值为D.满足的点P的轨迹是椭圆〖答案〗BC〖解析〗对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点到平面的距离，故半径为的球面在平面上截面圆的半径为,故截痕长为，A错误，对于B,由于平面，所以以为，在平面内过作,平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，则设，则，化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，,所以P到直线MN的距离为，化简可得，所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图，当在短轴的端点时，此时最大，由于,故，因此,C正确，对于D,，,若，则，化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，故选：BC.三、填空题12.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试,经统计,成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为______.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，又因为，所以所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.故〖答案〗为：.13.已知数列的通项公式（），则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗由于当为奇数时，，当为偶数时，，要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又，且当时，，因此时，，当，，当，，综上，最小值为.故〖答案〗为：14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为．已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为______．〖答案〗6〖解析〗设，由题意,,，可知，故当时，，当时，，当，，当时，，当时，，轨迹方程的图形如图，图形的面积为：．故〖答案〗为：6．四、解答题15.已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程：（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．解：（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，设椭圆的方程为：，，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设与直线平行的直线的方程为，联立，整理可得：，，可得，则，所以直线到直线的距离．所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．16.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，（1）求A的大小：（2）点D在BC上，（Ⅰ）当，且时，求AC的长；（Ⅱ）当，且时，求的面积．解：（1）因为，所以由正弦定理可得，又，所以，因为为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；（2）（Ⅰ）此时，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）设，由，可得，化简可得有，由于，所以，所以，则．17.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．（1）求证：；（2）点在棱上运动，求面积的最小值；（3）点为的中点，在棱上找一点，使得平面，求的值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又，所以四边形为矩形，所以，又为等边三角形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：连接，由平面，又平面，所以，所以，要使的面积最小，即要使最小，当且仅当时取最小值，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，，所以，当时，所以面积的最小值为.（3）解：连接交于点，连接交于点，连接，因为且，所以，所以，因为平面，又平面，平面平面，所以，所以，在中，过点作，则有，所以，所以，即18.已知函数，，（）．（1）证明：当时，；（2）讨论函数在上的零点个数．（1）证明：令，则，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递减：在上单调递增，从而在上，，所以在上单调递增，因此在上，，即；（2）解：，，，在上，，所以，在上递增，，即函数在上无零点；，记，则，在上递增，而，故存在，使，当时，递减，时，递增，，而，，在上无零点，在,上有唯一零点，综上，当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点．19.已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．（1）若，求其生成数列的前项和；（2）设数列的“生成数列”为，求证：；（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．（1）解：因为关于单调递增，所以，，于是，的前项和．（2）证明：由题意可知，，所以，因此，即是单调递增