广东省清远市三校2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省清远市三校2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，由，可得.故选：B.2.已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（）A. B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，又且与垂直，所以，解得.故选：A.3.下列说法正确的是（）A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台〖答案〗B〖解析〗对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.故选：B.4.如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.5.图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（）A. B.C.四边形的周长为 D.四边形的面积为〖答案〗D〖解析〗如图过作交于点，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；还原平面图如下图，则，，，故A错误；过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即C错误；四边形的面积为：，即D正确.故选：D.6.已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，即，即，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴，，，，设，∴，∴，设，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，则的取值范围是.故选：A.7.已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（）A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，可得函数的最小正周期为，所以，所以，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，又因为为奇函数，可得，即，因为，当时，可得；当时，可得，所以的值为或.故选：D.8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗在中，，设，则，由正弦定理可知，，即，则，在中，，，又，则，故.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数 B.函数的一个对称中心是C.若，则 D.函数的一个对称中心是〖答案〗AC〖解析〗因为，故A正确；正弦函数的对称中心为，故B错误；根据三角函数的图象变换可得：，令，故其对称轴为，若，由对称性可得，显然成立，故C正确；令，故其对称中心为，显然无论k取何值，故D错误.故选：AC.10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A.对应的点位于第二象限 B.为纯虚数C.的模长等于 D.的共轭复数为〖答案〗ACD〖解析〗对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，∵，则，∴对应的点位于第二象限，故A项正确；对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；对于C项：由题意可得：，则，故C项正确；对于D项：由题意可得：，则的共轭复数为，故D项正确.故选：ACD.11.已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等腰三角形C.若，则一定是锐角三角形D.若，则一定是锐角三角形〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，由正弦定理可得，则，因为至少有两个锐角，从而可得，故为锐角三角形，因为正切函数在上为增函数，故，所以为等边三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，因为、，所以，，又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，所以，、，所以，或，即或，为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，时，由余弦定理可得，即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，因此不一定是锐角三角形，C错；对于D选项，因为，所以，由、、，所以、、均为锐角，所以为锐角三角形，D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，则向量，的夹角为___________.〖答案〗〖解析〗由题意，可设向量，的夹角为，向量，满足，，，由，则，解得：，又，.故〖答案〗为：.13.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．〖答案〗12〖解析〗设面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面水平放置时，水的体积为，当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为12.故〖答案〗为：12.14.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为_______．〖答案〗〖解析〗因为，的角平分线交于点，且，因为，即，即，即，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．解：（1）由，所以，设，因为，所以，因为，所以，解得，或，所以的坐标为或.（2）由，所以，因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，，解得且，即实数的取值范围为.16.如图是一个奖杯三视图.（1）求下部四棱台的侧面积；（2）求奖杯的体积（结果取整数，取3）解：（1）由三视图可知，奖杯分三部分组成，最下部分是四棱台，棱台上底面是边长为8cm，12cm的长方形，下底面是边长为16cm，24cm的长方形，高为3cm，如图，四棱台前后侧面全等，左右侧面全等，前面侧面的高，右侧面的高，所以四棱台侧面的面积.（2）棱台体积，中间部分为长，宽，高分别为cm，4cm，20cm的长方体，体积为，最上面一部分是球，直径为4cm，体积为，所以奖杯的体积为.17.如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．（1）设，求t的值；（2）求的余弦值．解：（1），又D，G，E三点共线，则，则，因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，解得.（2）取，作为平面的一组基底，则，则，，，，．18.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．解：（1）因为，所以，又，则，所以，又，故.（2）由，又，所以，即，由正弦定理，可得，因为是锐角三角形，所以，即，所以，所以，即的取值范围为.19.如图，已知与的夹角为，点C是的外接圆优孤上的一个动点（含端点A，B）