广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，解得，故，所以.故选：D.2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为厘米，厘米，高为厘米），则该青铜器的容积约为（取）（）A.立方厘米 B.立方厘米C.立方厘米 D.立方厘米〖答案〗D〖解析〗依题意可得该青铜器的容积约为（立方厘米）.故选：D.3.函数在上的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，故在上的值域为.故选：B.4.若复数的实部为，则点的轨迹是（）A.直径为2的圆 B.实轴长为2的双曲线C.直径为1的圆 D.虚轴长为2的双曲线〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即，所以点的轨迹是直径为2的圆.故选：A.5.已知，则（）A B. C.15 D.17〖答案〗D〖解析〗令，得，又展开式的通项为（且），所以，所以.故选：D6.当，时，.这个基本不等式可以推广为当x，时，，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方法，可得的近似值为（）A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039〖答案〗C〖解析〗依题意，，则.故选：C.7.已知函数，，则（）A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，有2个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点〖答案〗D〖解析〗两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.故选：D8.在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，因为在矩形中，，所以，因为底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.因为，所以，解得(负根舍去)，所以故选：D.二、选择题9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（）A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万〖答案〗ACD〖解析〗由图可知，湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为(万),A正确;这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，所以第60百分位数为730.50万，中位数为（万），C，D均正确.故选：ACD10.已知函数的定义域为,不恒为零,且则（）A.B.为偶函数C.在处取得极小值D若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，令，得，解得或，当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，对于选项B，令，则，即，即为偶函数，所以选项B正确，对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，对于选项D，令，得，若，则，则，则，所以选项D正确，故选：ABD.11.下列命题为真命题的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗设，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，对于AB，，所以的最小值为，故A错误，B正确；对于CD，，所以的最小值是，故C正确，D错误.故选：BC.三、填空题12.若向量，，//，则______，______.〖答案〗9〖解析〗因为//，所以，解得，所以.故〖答案〗为：；13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度______米.〖答案〗204〖解析〗设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以.因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.由余弦定理，可得，即，解得.故〖答案〗为：204.14.已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，所以，则，又.所以C的离心率的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题15.甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立，（1）求该比赛三局定胜负的概率；（2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为，求的分布列与数学期望.解：（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢，则该比赛三局定胜负的概率为.（2）依题意，的可能取值为2，3，4，则，，，则的分布列为234故.16.如图，在直三棱柱中，，，为的中点.（1）证明：平面.（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.（1）证明：连接交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为，为的中点，所以，且，因为以为直径的球的表面积为，所以，解得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，竖直向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，，设平面的法向量为，则，令，得，因为，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，（1）计算；（2）设数列满足，求的通项公式；（3）设排列满足，求，解：（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以，所以.18.双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线的方程，（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，解：（1）依题意可得，解得，故双曲线的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去，得，则，，设，则，又，直线，直线，联立，两式相除，得，即，解得，所以点在定直线上，因为直线与直线之间的距离为，所以点到直线的距离为定值，且定值为.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，，且，证明：.（1）解：由，得，则，，.故曲线在点处的切线方程为，