河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量C.若向量，同向，且，则 D.单位向量的模都相等〖答案〗D〖解析〗对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.故选：D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得．故选：D．3.下列说法中错误的是（）A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线〖答案〗C〖解析〗由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.故选：C.4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A.平行 B.相交C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内〖答案〗D〖解析〗由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行，由此可知，本题中这条直线可能在平面内，否则此直线与另一个平面平行，因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交.故选：D．5.如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，四边形是平行四边形，，如图，是的直观图，，所以四边形的直观图面积为.故选：D.6.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以在上的投影向量的坐标为．故选：D．7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（）A.正三角形 B.一个内角余弦值为的直角三角形C.底角余弦值为的等腰三角形 D.底角正弦值为的等腰三角形〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，由及正弦定理，得，所以，即有，三角形不可能为等边三角形和直角三角形，排除AB；所以该等腰三角形底角的余弦值为，C正确；该等腰三角形底角正弦值为，D错误.故选：C．8.如图，在中，，D在边AB上，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，，在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得，又因，，所以，所以，即，又因为，所以，故，所以．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.z的虚部为 B.z是纯虚数C.z的模是 D.z在复平面内对应的点位于第四象限〖答案〗CD〖解析〗对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误；对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．故选：CD．10.在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11.已知的内角的对边分别为，若，则（）A.的外接圆的面积为 B.的周长为C.是直角三角形 D.的内切圆的半径为〖答案〗ABC〖解析〗对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到，所以的外接圆的面积为，故选项A正确；对于选项B，由余弦定理，得到，整理得到，解得，所以，故的周长为，所以选项B正确；对于选项C，因为，，，所以，故选项C正确；对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，其中是实数，则__________.〖答案〗0〖解析〗因为，所以，解得，所以.故〖答案〗为：0.13.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为______；古塔的塔高为______．〖答案〗〖解析〗如图，在，，由正弦定理，又，所以，即，延长交于，则，又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，在中，，又，由正弦定理有，得到.故〖答案〗为：.14.在中，已知向量与满足，且，则角__________.〖答案〗〖解析〗设角的平分线交于，因为，故，即，又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，设，（如图所示），，因为，故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上，因为，故，故，综上，为等腰直角三角形且，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）当m为何值时，z为纯虚数?（2）当时，求．解：（1）由已知得，若z为纯虚数，则解得或．（2）当时，，，所以．16.已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．（1）若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；（2）若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．解：（1）该几何体是一个高为2，底面为矩形的四棱锥，所以该几何体的体积．（2）正侧面及相对侧面底边上的高，左、右侧面的底边上的高，故几何体的侧面面积．17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若的面积为1，求a的最小值．解：（1）由，得，又，所以，可得，因为，所以，故，又，所以．（2）因为的面积，所以，由勾股定理及基本不等式可得，即，．当且仅当时，等号成立，故a的最小值为2．18.如图，在中，D，E是边BC上的两点，，AE平分∠BAC，．（1）若，求的值；（2）求证：．解：（1）因为AE平分∠BAC，，所以，因为，，所以，在中，，，，所以．（2）因为，，由，得，整理得，因为，，所以，所以．19.若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．（1）求∠BAC；（2）若，，，求C的坐标；（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．解：（1）因为与同向，设，则，，又∠GAB，，因为，所以，所以，由