河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题一、选择题1.设复数满足，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由可得，则.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，由可得，解得，故选：D3.设，已知集合，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设，，又，，∴.故选：D4.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设事件“第1次抽到几何题”，事件“第2次抽到代数题”，所以，则．故选：A．5.已知，则（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗由可得，即，，故.故选：C.6.在某项测验中，假设测验数据服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若,则,）（）A.94 B.86 C.82 D.78〖答案〗C〖解析〗测验数据服从正态分布，则，，故，故等级的分数线应该是．故选：C7.已知点是抛物线的焦点，,是该抛物线上两点，，则中点的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点坐标分别为，抛物线的准线方程为，由抛物线定义有，,所以,，故，选项B正确．故选：B.8.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由可得，，故为公比为2的等比数列，故，所以，故，因此故，要使，则，当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6，故选：B.二、选择题9.椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（）A.C的焦距为2 B.C的短轴长为C.C的离心率为 D.的周长为8〖答案〗ABD〖解析〗由于，所以,故，因此，故，所以椭圆，对于A，焦距为，故A正确，对于B，短轴长为，B正确，对于C，离心率为，C错误，对于D，的周长为，D正确，故选：ABD10.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.函数的周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递减D.函数在区间上的最小值为〖答案〗AD〖解析〗，，故数的周期为，A正确，对于B.函数，故不关于直线对称，B错误，对C.当则，故函数在区间不是单调递减，C错误，对于D.则，故当时，取最小值故D正确，故选：AD.11.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.C.是周期函数 D.的〖解析〗式可能为〖答案〗ABC〖解析〗由，令，，有，可得,故A正确；令，则，则，函数是偶函数，而为奇函数，故D错误，，令，则，所以，则，，所以，则周期为6，C正确．由于为偶函数且周期为6，故，B正确，故选：ABC.三、填空题12.已知为等差数列，为其前项和，若，，则________.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为d,∵，，∴2×8+8d=0，解得d=−2.则S8=8×8−2×=8.故〖答案〗为8.13.已知函数的值域为，则的定义域可以是____.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令，解得或，则的定义域可以是，故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.14.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时______．〖答案〗〖解析〗分别作，，垂足为，，则．由，可得，所以．因为，则，故，故〖答案〗为：．四、解答题15.某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：男女在A餐厅用餐4020在B餐厅用餐1525（1）求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；（2）依据的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?附：．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由表中数据可得，选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，设事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙选择同一种套餐，事件A:甲、乙两名同学选择同一套餐用餐,,则；故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为（2）根据数据可得方案一的列联表：

男女合计在A餐厅用餐402060B餐厅用餐152540合计5545100零假设为：认为性别与选择餐厅之间无关，根据列联表中的数据，经计算得到，依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．16.已知函数，为的导函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．解：（1）因为的定义域为，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）依题意，，则，令，解得或．当变化时，，的变化情况如表所示：12＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数单调递减区间为，单调递增区间为，．故的极小值为，的极大值为．17.已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．解：（1）由题意可得，则，，，由于，，成等比数列，所以，即，故点P的轨迹C的方程为（2）由（1）知点P的轨迹C的方程为：当或，当时，，如图；由题意可知直线有斜率，设方程为，联立，则，故,联立，则，故,,解得，故直线方程为18.已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个论断：①；②；③平面．（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；（2）在（1）的条件下，若，求四棱锥体积的最大值．解：（1）①②③,连接相交于，连接，由于底面是正方形，所以，又，平面，故平面，平面,故,由于，故,因此,平面，故平面，（可得四棱锥是正四棱锥）平面，故,又平面,故平面．②③①,连接相交于，连接,由于底面是正方形，所以，又，平面，故平面，平面，故,又平面，平面，故,平面,故平面,结合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱锥是正四棱锥，故，①③②,连接相交于，连接,平面，平面，故,由于故,又,故,故,因此，平面，故平面,故四棱锥是正四棱锥，由于，又，平面，故平面，平面,故,（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥是正四棱锥，设四棱锥的底边边长为，则四，所以，故由于，当且仅当，即时取等号，故，故四棱棱锥体积的最大值为.19.点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且．（1）若，求；（2）射线上的点，，，…满足，，（i）当时，求的最小值；（ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和．（1）解：因为D是线段上一点，，所以故