河南省新乡市多校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市多校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，.故选：A.2.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（）A.32 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为；若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为.故选：D.3.若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖解析〗因为有两个解，所以，所以，即.故选：C.4.如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（）A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形 D.三边互不相等的三角形〖答案〗B〖解析〗根据斜二测画法还原，则，且，因此，且，所以为等腰直角三角形.故选：B.5.已知平面向量，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，则，所以在上的投影向量为.故选：A.6.在中，边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗为的中点，，.故选：A.7.一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作圆锥的轴截面，如图，由题可知，,，所以，即，解得，则，所以故选：D.8.在中，已知为锐角，，若的最小值为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设的内角的对边分别为，因为，所以当时，取得最小值，则，所以，又为锐角，故，因为，所以，所以，所以，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.存在只有三个面的多面体 B.平行六面体的六个面都是平行四边形C.长方体是直四棱柱 D.棱台的侧面都是梯形〖答案〗BCD〖解析〗对于A，易知面数最少的多面体是三棱锥，它有四个面，故A错误；对于B，由平行六面体的定义知，平行六面体的六个面都是平行四边形，故B正确；对于C，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正确；对于D，由棱台的结构特征知，棱台的侧面都是梯形，故D正确.故选：BCD.10.如图，已知长方形中，，则（）A.的最小值为2B.当时，与的夹角余弦值为C.当时，D.对任意的〖答案〗AC〖解析〗以为坐标原点，分别以向量方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，对于A，显然，则，当，即时，取得最小值2，A正确；对于B，当时，与的夹角余弦值为，B错误；对于C，当时，，而，C正确；对于D，，当时，取得最小值，当或1时，的值为1，所以对任意的，D错误.故选：AC.11.已知锐角三角形的内角所对的边分别是，且的外接圆半径为，，，则（）A. B.C. D.面积的最大值为〖答案〗BC〖解析〗在锐角三角形中，由正弦定理可得，又，所以，又，所以，故C正确；因为，所以，因为是锐角三角形，所以，故A错误，B正确.由余弦定理得，所以，又，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以，则面积的最大值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为__________.〖答案〗4〖解析〗如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长，过点作于，则是的中点，连接，于是斜高，所以正四棱锥的表面积.故〖答案〗为：4.13.已知复数，若为纯虚数，则实数__________.〖答案〗8〖解析〗因为为纯虚数，所以且，得.故〖答案〗为：8.14.如图，在多面体中，已知是边长为2正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则平面，平面将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱，因为是边长为2的正方形，且均为正三角形，则，取的中点，连接，，，，则多面体的体积故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；（2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.解：（1）设，由，且，得，解得，而复数在复平面内对应的点在第一象限，，所以.（2），由复数在复平面内对应的点在第二象限，得，解得，所以实数的取值范围是.16.如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，.（1）用表示向量；（2）若，且，求.解：（1），，.（2）三点共线，由得，，即，，.17.如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中.（1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；（2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.解：（1）在直观图中，则在四边形中，所以四边形如图所示：由图可知，四边形为直角梯形，所以面积为.（2）直角梯形以直线为轴，旋转一周形成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体的底面圆半径，圆柱的高，圆锥的高，母线长，所以该几何体的体积，表面积.18.如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.（1）求三棱台的体积；（2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度.解：（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，则，，即四面体的高为，所以，所以.（2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知，在中，，由余弦定理得，即，因为，所以，所以，在中，设，由余弦定理得，即，解得或，结合图可知，综上，的最小值为，且取最小值时.19.在中，