黑龙江省九校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省九校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小颗给出的加个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向 B.共线向量一定相等向量C.若向量，同向，且，则 D.单位向量的模都相等〖答案〗D〖解析〗对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.故选：D.2化简（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.4.在中，，则（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，由正弦定理得，解得.故选：C.5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得．故选：B．6.若，，则（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以即，因为，所以，所以，则，所以，所以.故选：D.7.已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由图知，，则，由图知，在取得最大值，且图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得，所以函数的表达式为．故选：D.8.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为为的外心，为的中点，所以，因为为的垂心，所以，所以，易得所以，所以，因为为的重心，所以，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.10.在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.C.若，则是锐角三角形D.若，则的面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于，因为在中，，所以当时，，故为等腰三角形，故正确；对于，由正弦定理，得，所以，故正确；对于，由余弦定理得，又因为是中的一个内角，所以，所以是钝角三角形，故错误；对于，，故正确.故选：.11.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（）A.在区间上有且仅有4条对称轴 B.的最小正周期可能是C.的取值范围是 D.在区间上单调递增〖答案〗CD〖解析〗对C：由函数，令，，则，，函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数符合，由，得，则，，，即，，故C正确；对于A：，，，当时，在区间上有且仅有3条对称轴；当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；对于B：周期，由，则，，又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；对于D：，，又，，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则____________.〖答案〗〖解析〗结合题意可得：，因为，，所以，所以.故〖答案〗为：.13.在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.〖答案〗〖解析〗记与交于点O，，由题知，①，在中，由余弦定理有②，联立①②解得，所以，因为，所以，所以，以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，所以，所以.故〖答案〗为：.14.已知，当时，，则______.〖答案〗〖解析〗由，可得，所以函数周期，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为坐标原点，，，.（1）若三点共线，求实数的值；（2）若点满足，求的最小值.解：（1）因为，，，所以，，又三点共线，所以，所以，解得.（2）因为，，所以，，所以，所以，所以当时.16.已知向量与的夹角为.（1）求的值；（2）若，求在上的投影向量的坐标.解：（1）因为向量与的夹角为，所以，所以.（2）由投影向量公式可得：.17.已知向量的夹角为.（1）求；（2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围.解：（1），因为，所以.（2）设与的夹角为，则且，故，且与不同向共线，，，故，且，解得且，故的取值范围是.18.如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.（1）求的值；（2）求的值；（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.解：（1）设，，，，即．（2），．（3）连接三点共线，，为的中点，，设，则，设，在中，，，解得，．19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围.解：因为