江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则x的值为（）A. B. C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得.故选：D.2.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有（）种不同的报名方法．A.81 B.64 C.24 D.4〖答案〗A〖解析〗根据题意可知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有种.故选：A3.如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.4.同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，所以.故选：B5.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐标是，故选：D.6.已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗对于甲，取任何值，都有，所以甲真命题；对于乙，若，则该正态分布的均值；对于丙，若，则该正态分布的均值；乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；对于丁，，丁为假命题．故选：D7.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．（1）小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛（每两队主､客场各赛1场），决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为（）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗C〖解析〗.故选：C．8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面平面，平面平面，，平面，平面，则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，；则，当时，最小，最小值为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若，则B.在的展开式中，含的项的系数是－15C.被5除所得的余数是1D.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成31种币值〖答案〗BCD〖解析〗对于A，若，则或，解得或，故A不正确；对于B，含的项是由的5个括号中4个出仅1个括号出常数，所以含的项的系数是，故B正确；对于C，，所以被5除所得的余数是1，故C正确；对于D，壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成种币值，故D正确.故选：BCD.10.下列说法正确的有（）A.某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布B.若随机变量X的数学期望，则C.若随机变量X的方差，则D.随机变量则〖答案〗AC〖解析〗A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；B选项：，故B错误；C选项：，故C正确；D选项：因所以，根据组合数的对称性可知，，故D错误.故选：AC11.从装有5个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第i(,2)次摸球时摸到红球”为，“第j(,2)次摸球时摸到蓝球”为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意可得,则，A正确；，故，B正确；由于，故，同理,故，C错误；,所以，D正确，故选：ABD12.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖脚居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖”是指四个面都是直角三角形的三棱锥.在堑堵中，如图所示，若AC⊥BC，，．（）A.四棱锥为阳马B.三棱锥为鳖臑C.点P在侧面及其边界上运动，点M在棱AC上运动，若直线，AP是共面直线，则点P的轨迹长度为D.点N在侧棱上运动，则的最小值为〖答案〗ABC〖解析〗对A，直三棱柱中，，，又AC⊥BC，平面，所以平面，底面为矩形，故四棱锥为阳马，正确；对B，在三棱锥中，由题意及A知都为直角三角形，故正确；对C，如图，当在面对角线上运动时，平面，平面，即直线，AP是共面直线，即点P的轨迹长度为，故正确；对D，直三棱柱侧面与侧面展开在同一平面上可得长为，宽为4的矩形，如图，连接交于，此时有最小值，故错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（16题第一空2分，第二空3分）13.如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠（每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠），表示两位数，记所得的两位数为X，则_____________．〖答案〗〖解析〗由已知随机试验从个位档与十位档靠梁拨3颗珠，表示两位数，可得下列结果：，共8个结果，其中随机事件包含下列结果，，所以.故〖答案〗为：.14.若，则_____________．〖答案〗〖解析〗由可得，令，则，故，故〖答案〗为：15.如图，将边长的正方形沿对角线BD折起，连接AC，构成一四面体，使得，则点到平面的距离为_____________．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，，取的中点，连接，因为，，所以，因为，，所以，又，所以，因为，点为的中点，所以，由平面，，所以平面，所以点到平面的距离为，又的面积为，所以三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，则，又，因为，所以的面积为，所以，所以.所以点到平面的距离为.故〖答案〗为：.16.某地为贯彻关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户种植树苗的自然成活率为0.9．该农户决定种植棵树苗，种植后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，则一棵树苗最终成活的概率为_____________，若种植每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于25万元，至少需要种植_____________棵树苗．〖答案〗①②〖解析〗一棵树苗最终成活的概率为，根据题意可得，解得，因为，所以的最小值为，即至少需要种植棵树苗．故〖答案〗为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：（1）A，B两人不排在一起，有几种排法？（2）C，D两人必须排在一起，有几种排法？（3）E不在排头，F不在排尾，有几种排法？解：（1）先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为；（2）将C，D两人捆绑一起看作一个复合元素和其他4人去安排，因此，排法种数为；（3）E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论：①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法；②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法．综上所述，共有种不同的排法种数．18.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．解：（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），因为前3项的系数成等差数列，所以，化简得，解得或（舍）．展开式共有9项，二项式系数最大的项为.（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），设第项的系数最大，则，即，解得，则或，所以展开式的第3项与第4项系数最大，即和.19.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因为是⊙O的直径，所以，因为，，所以，又因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面ACD，，所以平面（2）因为，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，，，．显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则令，则，所以，设二面角所成角为，，则，所以二面角的正弦值为20.在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．（1）若有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；（2）若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率．解：（1）由题意分析，X的可能值为0，1，2，3所以，，，．分布列：X0123P．（2）依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为．即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，所以．21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD（不包含端点）上的点，，．（1）若，求证：平面；（2）若平面，求与平面所成角的最大值．解：（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，由，故，所以，即H为AD的中点，此时，，且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，，设平面BMF的法向量，则有，令，则，所以，设DB与平面MFB所成的角为，则，当时，的最大值为，又，故DB与平面所成角的最大值．22.电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布．（1）若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．（2）若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？参考数据：若随机变量，则，，，，．解：（1）方法1：因为，所以，即，所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试．方法2：因为