江苏省盐城市七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：苏教版选择性必修第二册.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（）A.11 B.10 C.12 D.13〖答案〗C〖解析〗∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴．故选：C2.已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（）A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4〖答案〗D〖解析〗当时，由，所以.故选：D3.在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又向量平面，所以是平面的一个法向量所以点到平面的距离为.故〖答案〗为：.4.某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.故选：B.5.某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，则，，.故选：A.6.已知，则（）A.8 B.5 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗因为，取代入可得：，取代入可得：①，取代入可得：②，①+②再除以2可得：，所以，①-②再除以2可得：，所以.故选：D7.在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗平面平面，且为交线，，平面，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，在Rt中，，所以，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，则.故选：C8.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，事件共有个基本事件，对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；含5，3，1的同理也有4个，所以事件共有24个基本事件，所以．故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于，若，则的值可以为（）A2 B.3 C.4 D.5〖答案〗AB〖解析〗因为，所以或，解得或故选：AB10.下列命题中正确的是（）A.已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B.已知随机变量，且，则C.已知随机变量，则D.已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，，第3个和第4个数的平均数为，故A正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，则，故C错误；对于D选项，，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确．故选：ABD．11.甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（）A，，两两互斥 B.C. D.与B是相互独立事件〖答案〗AB〖解析〗由题意，{甲袋取出白球}，{甲袋取出红球}，{甲袋取出黑球}，所以，，两两互斥，A正确；而甲袋有3个白球，3个红球和2个黑球，则，，先发生，此时乙袋有3个白球，2个红球和1个黑球，则，先发生，此时乙袋有2个白球，3个红球和1个黑球，则，先发生，此时乙袋有2个白球，2个红球和2个黑球，则，所以，B正确，C错误；，D错误.故选：AB12.如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.B.向量与所成角的余弦值为C.平面AEF的一个法向量是D.点D到平面AEF的距离为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，正方体中，，，，所以，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，设，则，，而，所以平面的一个法向量是，故C正确；对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.对某手机的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x与y之间的关系式为，则当广告费用支出为10万元时，销售余额的预测值为___________万元.〖答案〗92.5〖解析〗将x=10代入，即得，所以余额为万元，故〖答案〗为：92.514.已知，则______.〖答案〗〖解析〗由，可得.故〖答案〗为：15.为了庆祝新年的到来,某校“皮影戏”社团的6名男同学,2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛,该代表队中有队长,副队长各一名,剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学,一共有______种可能.〖答案〗〖解析〗若代表队中有1名女同学,此时共有种可能;若有2名女同学,则共有种可能,所以一共有种可能.故〖答案〗为:.16.如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．〖答案〗①②12〖解析〗∵，∴点在平面上，如图，分别取，，的中点，，，连接，因为为中点，故，又由正方体可得，，故，故四边形为平行四边形，故，故，故四点共面，同理可证四点共面，故五点共面，同理可证四点共面，故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形.故点的轨迹是正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，所以点轨迹围成图形的面积是．如图，，∴的最大值为12．故〖答案〗为：，12．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．解：（1）因为，所以，当为奇数时，此方程无解，当为偶数时，方程可化为，解得；（2）由通项公式，当为整数时，是有理项，则，所以有理项为．18.袋中有5个白球､4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.解：（1）根据题意，设从中摸出白球的个数为，则服从超几何分布，所以，即摸出2个或3个白球的概率为.（2）由（1）得，，即至少摸出1个白球的概率为.（3）至少摸出1个黑球：，故至少摸出1个黑球的概率为.19.某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用x（元）45678用户数量y（万人）22.12.52.93.2已知x与y线性相关.（1）求y关于x的经验回归方程（，）；（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：（1）由，，有，，故y关于x的经验回归方程为；（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，所以预测该月的用户数量为5.10万人20.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好30不爱好10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.解：（1）根据男，女员工各50人，可以补充列联表，男性女性总计爱好304070不爱好201030总计5050100零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，由已知数据可求得，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）的取值可能为.，所以的分布列为012的数学期望为.21.如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）．（1）证明；（2）若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．解：（1）连接，因为四边形为正方形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）以A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，所以，．设，则．设平面的一个法向量为，，令，解得，，所以平面的一个法向量为，又直线与平面所成角的大小为，所以，解得．所以，所以，所以．22.企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：产品尺寸件数85454160724012根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正