江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，，所以，故C正确.故选：C.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3.“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.故选：A.4.已知平面向量，，且，则（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知：，，所以，因为，所以，即，解得：，所以A、B、D错误，故选：C.5.记数列的前项和为，若是等差数列，，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因为是等差数列，所以可设，所以，所以为等差数列，，所以，所以.故选：D.6.已知角，满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，，故选：A.7.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A.28 B.16 C.20 D.12〖答案〗A〖解析〗由知函数图象关于直线对称，∵，是R上奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，因为方程在上有实数根，函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的，所以方程在上有唯一的实数根，则由于，函数的图象关于直线对称，故方程在上有唯一实数根，因为在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有4个实数根之和为.故选：A.8.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，故选：D．二、选择题9.若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（）A.3 B.5 C.6 D.7〖答案〗AC〖解析〗展开式的通项为：，因为存在常数项，所以.经验证，时，；时，符合条件.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象过点C.函数的图象关于直线对称D.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是〖答案〗BCD〖解析〗对于A：设该函数的最小正周期为，则有，即，由函数的图象可知：，又，所以，即，由图象可知：，所以，因此A不正确；对于B：，所以B正确；对于C：因为，，所以，所以函数的图象关于直线对称，因此C正确；对于D：当时，，当，，当函数在区间上不单调时，则有，D正确.故选：BCD.11.在四棱锥中,是正方形,,，，为棱上一点，则下列结论正确的是（）A.点到平面的距离为1B.若，则过点，，的平面截此四棱锥所得截面的面积为C.四棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，因为，，又，且，面，所以面，又因为，所以平面，因为，且，可得到平面的距离为，即三棱锥的高为，设点到平面的距离为，且，由，可得，得.所以点到平面的距离为1，所以A正确；对于B选项，因为，所以点为棱的中点，取中点为，连接，，则平面即为平面截此四棱锥所得的截面.且点是的中点，点为棱的中点，所以在中，是的中位线，则，且，又因为四边形是正方形，则，所以，因为面，且面，面，所以.所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，因为，在等腰中，，且平分，可得，则平面截此四棱锥所得截面的面积为，所以B正确；对于C选项，又因为，，且，所以，即，其中为外接圆半径，因为正方形的中心到面的距离等于其边长的一半，即，故四棱锥外接球的半径为.所以四棱锥外接球的表面积为，所以C不正确；对于D选项，过点作，再过点作，使得分别在线段上，连接.根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，即平面.所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角.由于平面，在平面内，故.从而在直角中，可得.设，由，可得，所以，所以.由于，故在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可，在直角中，可得，且当时，不等号取等.所以的最大值是，所以D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为3的概率为______．〖答案〗〖解析〗当为时，这6个点数的中位数为3，当时，这6个点数的中位数为，当时，这6个点数的中位数为，当为时，这6个点数的中位数为，所以这6个点数的中位数为3的概率为.故〖答案〗为：.13.在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，又，所以，而，由正弦定理有，所以，所以，而的取值范围是，所以的取值范围是，的取值范围是，所以的取值范围是，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.14.已知关于的不等式恒成立,的最小值为,则的最小值为______.（其中为自然对数的底数）〖答案〗〖解析〗不等式恒成立，等价于，令，所以在是增函数，且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即.令，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，所以，所以，即，故.所以，，因为，所以时，是增函数，时，是减函数，即时取得最小值，此时；当时，，；当时，，此时.综上可知的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题15.赣南脐橙，果大形正，橙红鲜绝，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．荣获“中华名果”等称号．有甲、乙两个脐橙种植基地，按果径（单位：）的大小分级，其中为特级果，为一级果，为二级果，为三级果，一级果与特级果统称为优质果，现从甲、乙两基地所采摘的所有脐橙中各随机抽取300个，测量这些脐橙的果径，所得数据整理如下：果径分组（单位：）甲基地频数515100150255乙基地频数10251101202510（1）根据以上统计数据完成下表，并回答是否有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关？”甲基地乙基地优质果非优质果（2）以样本估计总体，用频率代替概率，从甲种植基地采摘的所有优质果中随机抽取3个，设被抽取的3个脐橙中特级果的个数为，求的分布列和数学期望.附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根据题中所给数据可得到如下列联表：

甲基地乙基地优质果250230非优质果5070，因此，有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”.（2）由题意得甲种植基地优质果中特级果概率，的所有可能取值为．，，，，的分布列表如下：0123（或）．16.已知函数的图象在处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若函数在上无零点，求的取值范围.解：（1）由函数，，，所以可得，解得.（2）若函数在上无零点，即在上无解，即在上无解，令，，，在上，所以在上单调递增，所以，即，若在上无解，则或，即或.所以的取值范围为17.如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接.因为，且，又分别是棱的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：四边形均为正方形，所以.所以平面.因为，所以平面.从而.又，所以为等边三角形.因为是棱的中点，所以.即两两垂直.以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.设为平面的法向量，则，即，可取.因为，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角正弦值为.18.已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点.（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值.解：（1）在抛物线上，，解得：，抛物线方程为：；由抛物线方程知：，即，，解得：，，椭圆的标准方程为：；（2）的内切圆圆心始终在直线上，平分，设直线斜率为，又轴，；设，，则，又，，整理可得：；，，；由得：，则，解得：；由得：，则，解得：；综上所述：；设，，则，，，又到直线距离，，由得：，当时，，的最大值为.19.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列，经过6次“变换”后得到的数列；（2）若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．解：（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为；；；；；，所以，数列，经过6次“变换”后得到的数列为.（2）数列经过不断的“变换”不可能结束设数列，，，且，，依题意，，，所以，即非零常数列才能通过“变换”结束．设（为非零自然数）．为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能，，；，，；，，；，，．而任何一种可能中，数列的第三项是0或．即不存在数列，使得其经过“变换”成为非零常数列，由①②得，数列经过不断的“变换”不可能结束．（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为．数列经过