辽宁省丹东市2024届高三下学期总复习质量测试（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省丹东市2024届高三下学期总复习质量测试（一）数学试卷一、选择题1.已知抛物线的焦点到准线的距离为1，则（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由抛物线，可化为，因为抛物线的焦点到准线的距离为1，可得，解得.故选：D.2.已知i为虚数单位，复数，则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以，其对应的点在第三象限.故选：C.3.已知等差数列的公差为d，其前n项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取中点，连接，因为，所以，以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，注意到，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.5.若，，，则（）A.-2 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由，，，可得，所以，则.故选：B.6.的展开式中常数项为（）A.24 B.25 C.48 D.49〖答案〗D〖解析〗的展开式通项为，令，得满足题意的数组可以是：，规定，故所求为.故选：D.7.已知椭圆，直线与C交于A，B两点，且与x轴和y轴分别交于E，F两点，若，则C离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分别令，得，不失一般性，设点，联立与得，化简并整理得，而，所以，若，则，也就是，解得，所以，即，则C的离心率为.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，所以.故选：A.二、选择题9.已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（）人员甲乙命中环数A.甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B.甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C.乙试射命中环数的的分位数是D.事件，互为对立事件〖答案〗BCD〖解析〗对于A，甲试射命中环数的平均数为，乙试射命中环数的平均数为，故A错误；对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；对于C，乙试射命中环数排序为，因为，所以分位数为，故C正确；对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，事件事件表示“恰有个超过平均环数”，所以事件，互为对立事件，D正确.故选：BCD10.已知函数（，）满足，且在上单调递减，则（）A. B.为奇函数C.的对称轴为， D.在上有3个零点〖答案〗AC〖解析〗由于在上单调递减，，故对应的点是的对称中心，即.同样地由于在上单调递减，故最小正周期.同时，由于对任意的实数，方程在一个形如的区间上至多有两个根，且在有两个根的情况下，这两个根的平均值对应的直线一定是的的对称轴，而，，从而，故对应的直线一定是的的对称轴.现在，由于是的对称中心，是的的对称轴，故是的对称轴.而在上单调递减，，故，在上单调递减.再由是的对称中心，就知道，所以，故.此时得到，代入得，即.从而，由知，所以，即.经验证，满足条件.然后逐一验证各个选项：我们已经推出，故A正确；由，知函数在处有定义但不过原点，从而不可能是奇函数，B错误；由于当且仅当，即，即，故的对称轴是，C正确；由于当且仅当，即，即，故在上全部零点是，只有2个，D错误.故选：AC.11.已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（）A.弦有最小值为 B.有最小值为C.面积的最大值为 D.的最大值为9〖答案〗BCD〖解析〗圆圆心，半径，直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆一定相交，当点为弦的中点时，有最小值，此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，所以，故A错误；因为点为弦的中点，所以，即，所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，所以轨迹方程为，因为，所以点在圆外，所以的最小值为，故B正确；对于C，，要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，设，联立，得，则，故，所以点的坐标为，则，当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时，取等号，综上所述的最大值为9，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.已知集合，，若，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，则不等式无解，所以，解得.故〖答案〗为：.13.已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为________．〖答案〗〖解析〗因为，为球的直径，所以，故球心到平面的距离即为到平面的距离的2倍，如图设球的半径为，由题意可知，由，，可得，故如图，由题意平面，则，，且，设到平面的距离为，则由可得，，得，得，则球心到平面的距离为，故〖答案〗为：14.若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为________．〖答案〗〖解析〗由题意设，则，注意到是偶数，所以与的奇偶性相同，（否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾），注意到是偶数，所以与必然都是偶数，考虑80分解方式，满足题意的数组只可能是三种情况，所以x的取值可能是.故〖答案〗为：.四、解答题15.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为S，且．（1）求C；（2）若，，求S．解：（1）因为，即，整理得，即，所以，又，所以.（2）因为，，即，又，所以.16.不透明的盒中有六个大小形状相同的小球，它们分别标有数字，0，1，1，2，2，现从中随机取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）总取法数目，考虑全部的取出的3个小球上的数字两两不同的情况，3个小球上的数字可能是，0，1或，0，2或，1，2或0，1，2，分别有2，2，4，4种情况，故所求概率.（2）如果取出的3个小球上的数字包含0，此时取出的3个小球上的数字之积为0，总的情况数有种；如果取出的3个小球上的数字为，1，1，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；如果取出的3个小球上的数字为，1，2，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有4种；如果取出的3个小球上的数字为1，1，2，此时取出的3个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；如果取出的3个小球上的数字为，2，2，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；如果取出的3个小球上的数字为1，2，2，此时取出的3个小球上的数字之积为4，总的情况数有2种.而总的情况有种，故，，，，，，所以分布列为0240.50.050.20.10.050.1数学期望.17.如图，在四棱锥中，，，，，，点在棱上．（1）求证：平面平面；（2）若平面分两部分几何体与的体积之比，求二面角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，因为，，所以，因为，，所以，因为，为的中点，所以，，而，故，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：连接，过点作于，在中，，则，所以，又因为，所以为等边三角形，因为为的中点，所以且，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，因为几何体与的体积之比，所以，，设点到平面的距离为，则，则，解得，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以，所以，则，所以，所以，故，在中，，所以二面角的正弦值为.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，数列满足，①求证：；②求证：．（1）解：由函数，可得其定义域为，且，当时，，可得在上单调递增；当时，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：①当时，，令，可得由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，所以，即，又由函数在为单调递增函数，因为，则，所以，即，所以.②因为，且，可得当时，，，，，所以，所以，所以当时，，所以，则，所以，所以.19.我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．（1）请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；（2）从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．（3）在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．（1）解：因为，，所以，，故双曲线方程为，直线的方程为，由，解得，即，所以，所以反射光线所在的直线方程为，即；（2）