辽宁省名校联盟2024年高考模拟数学试题（信息卷）（五）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）（五）数学一、选择题1.已知集合，，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为或，，所以.故选：B.2.已知满足，则的最大值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗设，则，即，由于，故，解得，则，故选：D3.函数在下列哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，，得，令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.故选：C4.如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（）A.20 B.22 C.24 D.25〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，所以因为，，，所以，所以.故选：B5.已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，最小值为，则（）A.0 B.±1 C.±2 D.〖答案〗C〖解析〗两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，，因为，所以，所以，解得.故选：C.6.如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中，如图，在梯形中，过作，垂足为，而，故，故.同理，.在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，因，，故四边形为平行四边形，故，，而，故，故，故异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.7.一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率；故移动6次后仍然回到原点的概率为，故选：C.8.已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，故，故，因为是定义在上奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或，故选：A.二、选择题9.某同学5次考试中数学、物理成绩如图所示，则（）A.5次物理成绩的第60百分位数是81 B.5次数学成绩的极差大于物理成绩的极差C.5次物理成绩的标准差小于3 D.5次数学成绩的平均数大于110〖答案〗BD〖解析〗由题知，5次数学成绩从低到高依次排列为:96、101、108、120、128，5次物理成绩从低到高依次排列为:78、80、81、85、86.对于A选项，因为，所以5次物理成绩的第60百分位数为，故A选项错误；对于B选项，5次数学成绩的极差为，5次物理成绩的极差为，数学成绩的极差大于物理成绩的极差，故B选项正确；对于C选项，5次物理成绩的平均数为，标准差为，故C选项错误；对于D选项，5次数学成绩的平均数为，平均数大于110，故D选项正确.故选：BD.10.函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（）A. B.是偶函数C.的图像关于点中心对称 D.当时，取到最小值〖答案〗BC〖解析〗，故，对于A，，故A错误.对于B，，而，故为偶函数，故B正确.对于C，令，则，故的图像的对称中心对称为，当时，对称中心为，故C正确.对于D，，故为取到最大值，故D错误.故选：BC.11.已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（）A.C的离心率为B.C的焦距为2C.平面上存在两个定点A，B，使得D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为是等轴双曲线，故其离心率为，故A正确.对于B，因为图象的对称轴为和，由可得或，故双曲线顶点坐标为，故双曲线的实半轴长为，故半焦距为，故焦距为4，故B错误.对于C，因焦点在直线上，故设焦点坐标为，因为，且双曲线的中心为原点，故即，取，由双曲线的定义可得，故C正确.对于D，由C的分析可得为焦点，则，故D正确，故选：ACD.三、填空题12.命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而，得，故〖答案〗为：.13.已知M，N为抛物线C：上不关于x轴对称的两点，线段的中点到C的准线的距离为3，则直线的方程可能是________.（写出满足条件的一个方程即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗设直线，，联立，，，，，因为线段的中点到C的准线的距离为3，抛物线的准线为：，所以，所以.令，得，直线的方程可能是.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）14.某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为_________.〖答案〗〖解析〗如图是四棱锥形包装盒的直观图，设，连接，易知平面，设、的中点分别为、，连接、，设，，，则，因为，所以，整理得，所以，同理，所以，整理得，所以，所以，因为，所以，令，，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得最大值，即，所以包装盒容积的最大值为.故〖答案〗为：四、解答题15.某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员.该店随机抽取男、女会员各100名进行调研统计，其中抽到男性星级会员25名，女性星级会员40名.（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关?男性会员女性会员合计星级会员普通会员合计（2）该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（5个球除颜色外其他均相同）的箱子里，会员从中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若三次都没有摸到红球，则无优惠；若三次摸到1个红球，则获得九折优惠；若三次摸到2个红球，则获得八折优惠；若三次摸到3个红球，则获得七折优惠.若店内某件商品的标价为元，记会员实付费用为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由题意得列联表男性会员女性会员合计星级会员254065普通会员7560135合计100100200零假设为星级会员与性别无关，则，并根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为星级会员与性别有关；（2）由题意得，每次摸到红球的概率，实付费用为的取值为，，，，，，，，的分布列为：所以ξ的数学期望.16.如图，圆锥的顶点为，为底面圆的直径，是圆上一点，是的中点，，为底面圆周上异于点的一个动点.（1）是否存在，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）记直线与平面所成角的最大值为，求.解：（1）存在点，使得面，如图作交圆于点，设为坐标原点，以为轴，为轴，与轴，建立空间直角坐标系，设，，，故，，易知，，故是等边三角形，得，故，设面的法向量为，可得，即，令，解得，，故得，因为平面，所以，故，而在为底面圆周上，故，解得或，(其它根舍去)当时，，与点重合，故舍去，当时，，符合题意，此时在劣弧的中点处，故存在点且在劣弧的中点处使得平面.（2）设直线与平面所成角为，由（1）可得，由三角函数性质得当时，取得最大值，且，又且在上单调递增，所以当取得最大值时取最大值，又直线与平面所成角的最大值为，所以.17.已知椭圆C：过点，且C与双曲线有相同的焦点.（1）求C的方程；（2）直线：不过第四象限，且与C交于A，B两点，P为C上异于A，B的动点，求面积的最大值，并求的最大值.解：（1）设椭圆的焦距为，因为双曲线的焦点为，所以，即；因为椭圆过点，所以，解得，所以C的方程为.（2）设，，可得，，因为直线：不过第四象限，所以.，，设直线与椭圆相切，则，得，由得，因为直线：不过第四象限，则三角形面积最大时取；由题意，点为直线与椭圆的切点时，的面积最大，此时的高为，的面积为，即，，令，，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；所以当时，取到最大值，最大值为，所以的最大值为9.18.已知函数，是的极小值点.（1）求的值；（2）当时，，求的取值范围；（3）求证：.（1）解：定义域，，因为是的极小值点，所以，则，当时，，则，令，，则在为增函数，则存在使得，所以有两根，所以增区间为和，减区间为，则是的极小值点，所以符合题意，故.（2）解：由（1）知，因为当时，，则，①当时，，则，②当时，，令，则，令，，令，则，即为减函数，所以，即为减函数.令，则，在为减函数，，所以，即，因为，所以，即趋近于0时，趋近于1.令，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；因为，则，即，且，所以，又，则，综上①②，，所以的取值范围为.（3）证明：要证，需证，即证，令，易知在为减函数，，又，所以，因为，则，所以，则只需证，即证，由（1）知的增区间为和，减区间为，且，所以在为增函数，又，所以在恒有，即得证，所以成立.19.若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.（1）若数列具有性质，求的值；（2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；（3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.（1）解：由已知可得数列共有5项，所以，当时，有，当时，有，所