辽宁省沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在数列，，，，…，，…中，是它的（）A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项〖答案〗B〖解析〗由题意可得，数列的通项公式为，令，解得.故选：B2.设是可导函数，且，则（）A. B. C.－6 D.2〖答案〗B〖解析〗因为，则．故选：B．3.在数列中，，，则（）A.121 B.100 C.81 D.64〖答案〗C〖解析〗因为，所以，故数列是公差为的等差数列，因为，所以，则.故选：C4.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由图象可知在上单调递增故，即故选：B5.已知数列满足，，若，则（）A.28 B.26 C.21 D.16〖答案〗C〖解析〗由，，可得，，，，，，，，则.故选：C6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年〖答案〗A〖解析〗设从年开始，第年该公司全年投入的研发金开始超过万元，由已知得，，所以，两边取常用对数可得，所以，所以，故从年开始，该公司全年投入的研发金开始超过万元.故选：A7.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（）A.1011 B.1012 C.2022 D.2023〖答案〗A〖解析〗∵各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，∴即，根据等比数列的性质得到：，∵，，∴,∴，∴该数列为递减的等比数列，∵，∴，，∴当其前n项的乘积取最大值时n的值为1011．故选：A．8.已知，则的大小为（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列选项正确的是（）A.，则 B.，则C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由函数，可得，所以A错误；对于B中，由函数，可得，可得，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，所以D错误.故选：BC.10.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数在上递减，在上递减B.函数在上递增，在上递增C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值〖答案〗BD〖解析〗由图可知：当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；故函数在时取得极大值，在时取得极小值，即函数有极大值和极小值；故选：BD．11.已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.数列的通项公式为 D.〖答案〗BCD〖解析〗由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得故选：BCD12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数只有两个极值点B.方程有且只有两个实根，则的取值范围为C.方程共有4个根D.若，，则的最大值为2〖答案〗ACD〖解析〗对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；对于，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确.故选：CD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题纸上．）13.函数导函数为，若，则______.〖答案〗2〖解析〗由，得，得故〖答案〗为：2.14.已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.〖答案〗2〖解析〗设数列公比为q，则，则.故〖答案〗为：215.若直线是曲线与曲线的公切线，则______．〖答案〗5〖解析〗由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故〖答案〗为：5．16.当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则有，，令函数，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，，即，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题：（满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．）17.设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2an+2n}的前n项和Sn．解：（1），，∴，.联立解得：.（2）∴数列的前项和.18.已知曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求的极值.解：（1），因为曲线在点处的切线方程为，所以，解得；（2）由（1）得，则，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递增，所以函数的极大值为，极小值为.19.为数列的前项和，已知，.（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）由，可知两式相减得，即，∵，∴，∵当时，，∴（舍）或，则是首项为，公差的等差数列，∴的通项公式；（2）∵，∴，∴数列的前项和.20.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意不等正数，且，总有，求实数a的取值范围．解：（1），，，∴，①当时，，单调递增，②当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增．（2）在上单调递增，∴在上恒成立，令，，则在上恒成立，∴，令，，则，在上，，单调递增；在上，，单调递减，∴，∴，∴，即实数的取值范围为．21.在数列中，，前项和为，且.（1）若数列为等比数列，求的值；（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.解：（1）因为，所以当时，则有，两式相减可得：，所以，因为数列为等比数列，所以，也即，所以.（2）由（1）可知：，，所以，所以，即①所以②①减②可得：，所以.22.已如函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：函数存在极小