内蒙古自治区包头市2024届高三下学期二模数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区包头市2024届高三下学期二模数学试题（文）一､选择题1.已知全集，集合A满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为复数，所以的虚部为.故选：A.3.设m，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图：若，则为等边三角形则向量与向量的夹角为.故选：C.5.从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；故选：．6.已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，所以；令函数的值域为，因为，所以，所以必须能取到上的所有值，，解得.故选：B.7.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18〖答案〗C〖解析〗数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点〖答案〗D〖解析〗对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，故选：D.9.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.10.在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则直线与所成角的余弦值为，故选：D11.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若，且是定义域为的奇函数，故，则，，变形得，可得周期为，则，故A正确.故选：A.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.二､填空题13.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.〖答案〗〖解析〗依题可知，则，故〖答案〗为：.14.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c,已知,，，则边______.〖答案〗〖解析〗因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故〖答案〗为：.15.若实数满足约束条件，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗画出约束条件的可行域如下图所示阴影，由，得，移动直线簇，当与重合时，取得最小值；联立，解得，则，此时点直线上，故．故〖答案〗为：.16.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.〖答案〗〖解析〗设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）数据统计如下：序号123456723468101313223142505658根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.（1）根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；（2）根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）解：（1）由表格中的数据，，所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：（万元）18.如图，在多面体中,是等边三角形，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.（1）证明：取中点，连接.是等边三角形，为中点，，又，，平面，平面，又平面，.（2）解：连接，如图所示：因为，为中点，则，由得，又，，又，平面，平面，所以.19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数的单调区间.解：（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴所以时，函数的增区间为,时函数的单调减区间为，单调增区间为.20.已知椭圆过点，且焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.（1）解：依题意，椭圆半焦距，而，则，所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，由，得直线的方程为，由消去得：，则，故，于是，由代替，得，当，即时，直线：，过点，当，即时，直线的斜率为，直线：，令，因此直线恒过点，当直线之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点，所以直线恒过点.21.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.解：（1）由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列和数列1，3.（2）当时，因为存在的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且，若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．解：（1）曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．[