山西省晋城市2024届高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省晋城市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以.故选：A.2.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意可得：，解得，则圆锥的高，所以此圆锥的体积为.故选：B.3.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量和满足，，，可得，解得，所以向量在向量上的投影向量.故选：A.4.已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为圆的圆心为，半径，又因为双曲线的一条渐近线为，即，双曲线的左焦点到渐近线的距离，由题意可知：，可得，所以该双曲线的方程为.故选：D.5.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，由，得，又在上有2个零点，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：C6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则不同的报名情况总共有（）A.360种 B.316种 C.288种 D.216种〖答案〗C〖解析〗若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，，则方法数有种.若四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则方法数有种.所以他们报名的情况总共有种.故选：C.7.已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：，即，可知，设等差数列的公差为，则，可得等差数列为递减数列，则，由可得，则，所以.故选：B.8.已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗妨设，因为，设，则，因为，则，可知当，即时，取得最小值，所以的最小值为.故选：D.二、选择题9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成．某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：甲（单位：kg）250240240200270乙（单位：kg）250210280240220则下列说法正确的是（）A.甲种水稻产量的极差为70B.乙种水稻产量的中位数为240C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差〖答案〗ABD〖解析〗根据给定数表知，甲种水稻产量的极差为，乙种水稻产量的中位数为240，A，B都正确；甲种水稻产量平均数为，乙种水稻产量平均数为，C错误；甲种水稻产量方差为，乙种水稻产量方差为，D正确.故选：ABD10.已知函数的定义域为，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于y轴对称C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，且函数的定义域为，对于选项A：令，可得，解得，故A正确；对于选项B：令，可得，解得，令，可得，所以的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项CD：若，可得，令，可得，可知数列是以首项，公差为1的等差数列，可得，则，所以，故C正确，D错误；故选：AC.11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面B.当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为C.点E到直线的距离的最小值为D.当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如下图所示，连接，因为点是线段的中点，所以点也是线段的中点，所以平面即为平面.根据正方体的性质，平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，所以与重合时，平面，故A正确；对于B，如下图所示，取的中点，根据分别为的中点，易得，所以四点共面，所以截面为四边形，且该四边形为等腰梯形.又因为，所以等腰梯形的高为，所以截面面积为，故B错误；对于C，如图建立空间直角坐标系，由图可得，，所以，设，所以，所以点到直线的距离，所以时，距离最小，最小为，故C正确；对于D，如图所示，取的中点，连接，易得平面，又因为平面，所以，所以，则点在侧面内的运动轨迹为以为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为，所以点轨迹长度为，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.已知集合，，若，则的子集的个数为________．〖答案〗8〖解析〗由可知，则，可得，解得：，所以，即.,所以，则的子集的个数为.故〖答案〗为：813.已知，，则________．〖答案〗〖解析〗因为，即，可得，又因为，可得，所以.故〖答案〗为：.14.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，若的面积为，其中O为坐标原点，则的值为________．〖答案〗〖解析〗设，，，则，在中，可知，即，可得，由余弦定理可得，即，可得，则，解得或，又因为，则，可得，可知，又因为，可知为等边三角形，即，结合对称性可知轴，则，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求的值；（2）如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，则，注意到，则，可得，且，则，可得，则，又因为，则，可知，可得，，所以.（2）由（1）可得：，因为，在中，可得，，又因为，可得，则，在中，由余弦定理，即，解得，可知，所以的面积.16.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：喜欢不喜欢合计男生12080200女生100100200合计220180400（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）根据题意，由列联表中的数据，可得，所以有认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为人，女生的人数为人，从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，可得，，则随机变量的分布列为：0123（3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，所以.17.如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．（1）若，求证：平面；（2）若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．（1）证明：由题意可知：，，平面，可得平面，且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设，则，若，则，，由题意可知：平面的法向量，因，且平面，所以∥平面.（2）解：由（1）可得：，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可得：，整理得，解得或，所以或，即线段BF的长为或.18.已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切．（1）求C的方程；（2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆．①若，求点P的横坐标；②求面积最小值．解：（1）因为圆O：的圆心为，半径，由题意可知：抛物线C的准线为，可得，所以抛物线C的方程为.（2）设，可知直线，即，因为直线与圆O相切，则，整理得，且，化简可得：，同理可得：，同构可知：是关于x的方程的两根，则，可得，注意到点在抛物线C：上，则，则.①若，整理得，解得或（舍去），即点P的横坐标为3；②因为点到准线的距离，则面积，设，则，可得，且，当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最小值为.19.已知函数（）．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围；（3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．（1）解：当时，，则，得，又，所以在处的切线为；（2）解：对恒成立，，设