陕西省西安市部分学校2024届高三下学期高考模拟检测数学试卷（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市部分学校2024届高三下学期高考模拟检测数学试卷（文）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.2.复数的虚部为（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗依题意，复数，所以所求虚部为8.故选：C.3.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由为锐角，，得，而，且为锐角，所以.故选：B.4.若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗双曲线C的渐近线方程为，不妨取，点M到直线的距离为，因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以．故选：A5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加B.2017年至2022年该省年生产总量极差为14842.3亿元C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%〖答案〗C〖解析〗对于A，观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确；对于B，2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3（亿元），B正确；对于C，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低，而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误；对于D，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：，因此增长速度的中位数为，D正确.故选：C6.已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，若为递增数列，则，有，解得，则，时，所以,则k的取值范围为.故选：D7.如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，将展开图重新组合成正方体.显然.因此A选项正确.由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立.因此B、C选项不正确.由图易得，显然与相交，因此不成立.因此D选项不正确.故选：A8.在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗设的公差为d．因为，所以，，则，，．因为，所以，解得．故选：B9.已知函数则不等式解集为（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A10.如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗因为是的中点，且，所以.因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A.11.将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，设内切球的半径为，则有，解得，即内切球表面积为.故选：A.12.已知函数，现给出下列四个结论：①的图象关于点对称；②函数的最小正周期为；③函数在上单调递减；④对于函数．其中所有正确结论的序号为（）A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④〖答案〗C〖解析〗对于①，由得的定义域为，，因此的图象关于点对称，故①正确；对于②，因为，所以是的周期，故②错误；对于③，当时，，所以，故，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，由复合函数性质可知，函数在上单调递减，③正确；对于④，由上知，当时，，，因此，故④正确.故选：C.第Ⅱ卷二、填空题13.曲线在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗由函数，可得，则，即切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.14.若满足约束条件，则的最大值为______．〖答案〗2〖解析〗约束条件表示的平面区域如图中阴影，其中，目标函数，即表示斜率为1，纵截距为的平行直线系，作直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线纵截距最大，最大，所以.故〖答案〗为：215.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为______．〖答案〗〖解析〗分别假设豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅为，则有，共6种情况，其中相邻的有，共4种情况，故豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为.故〖答案〗为：16.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为______．〖答案〗〖解析〗设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即，因为，所以，即，解得．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.某企业近年来的广告费用（百万元）与所获得的利润（千万元）的数据如下表所示，已知与之间具有线性相关关系．年份20182019202020212022广告费用百万元1.51.61.71.81.9润千万元1.622.42.53（1）求关于的线性回归方程；（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润．参考公式：．解：（1）据题意，则，，，∴关于的线性回归方程为.（2）由表可知2025年该企业广告费用为百万元，代入得：千万元.∴预测2025年该企业可获得的利润为千万元.18.在中，已知，为上一点，，且.（1）求的值；（2）求的面积.解：（1），，则，在中，，所以.在中，，，所以.故.（2）在中，由余弦定理可得，即，解得，，则.故的面积为.19.如图,在三棱柱中,所有棱长均为1,．（1）证明：平面．（2）求三棱柱的体积．（1）证明：设为的中点，连接，在中，因为且，所以为等边三角形，所以，又因为且，所以四边形为正方形，因为，所以为等腰直角三角形，且，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，在中，由且为的中点，所以，又因为且平面，所以平面.（2）解：如图所示，连接，由（1）知，底面为正方形，且边长为，所以正方形的面积为，在等边中，因为，可得，因为平面，所以四棱锥的体积为，因为，所以，又由，所以，所以三棱柱的体积为.20.已知函数．（1）求的最大值；（2）证明：当时，．（1）解：函数的定义域为，求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以当时，函数取得最大值.（2）证明：令函数，求导得，即函数在上单调递增，因此，，由（1）知，恒成立，所以，即当时，.21.已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于.（1）求的方程；（2）若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程.（1）解：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，则到准线的距离之和等于，因为到直线的距离之和等于，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：由焦点，可得设且，联立方程组，整理得，则且，所以，设，由，可得，即，所以，由，可得，代入，可得，解得，所以直线的方程为.选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．（1）写出及的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．解：（1）