上海市黄浦区2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2024届高三二模数学试题一、填空题1.若集合，，则_________.〖答案〗〖解析〗因为集合，，则.故〖答案〗为：.2.抛物线的焦点到准线的距离是_________________.〖答案〗2〖解析〗焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3.若，，其中，则_________.〖答案〗3〖解析〗，故〖答案〗为：4.若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________.〖答案〗〖解析〗将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为，故侧面积为.故〖答案〗为：5.若的展开式中的系数是，则实数_________.〖答案〗〖解析〗通项公式为，令，解得，故，解得.故〖答案〗为：6.在中，，，，则_________.〖答案〗〖解析〗在中，根据余弦定理可得：，设，则，整理可得，解得，故.故〖答案〗为：.7.随机变量服从正态分布，若，则_________.〖答案〗〖解析〗因为且，所以，则.故〖答案〗为：8.若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，则.所以.由.故〖答案〗为：9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.〖答案〗〖解析〗由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种，若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种，若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种，若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种，若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种，共有种，而所有的上场顺序有种，∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：,故〖答案〗为：.10.已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为_________.〖答案〗21〖解析〗不妨设数列的公差大于零，由于，得，且时，，时，，不妨取，则，设，若，则，此时式子取不了最大值；若，则，又时，，因为，此时式子取不了最大值；因此这就说明必成立.若，则，这也就说明不成立，因此，所以.故〖答案〗为：.11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米.〖答案〗〖解析〗设半圆步道直径为百米，连接，显然，由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，则，又，则∽，有，即有，因此步道长，，求导得，由，得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，所以步道的最大长度为百米.故〖答案〗为：12.在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗由，，，则；由，，，则；由，，，则；显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为，结合题意可作图如下：在底面连接，作图如下：由，即，则，易知；由，即，则，易知；由，即，则；由，，则，易知；，；.故〖答案〗为：.二、选择题13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取名学生，高中部应抽取名学生，所以不同的抽样结果的种数为.故选：B.14.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数〖答案〗A〖解析〗，因为，所以为奇函数，周期，所以此函数最小正周期为的奇函数，故选：A.15.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，恒成立，即恒成立，当时，上式成立；当，，明显函数在上单调递增，所以，所以；当时，恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，又开口向下，对称轴为，所以的最大值为，所以，综上：实数a的取值范围是.故选：D.16.设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题〖答案〗A〖解析〗对于命题①，对于数列，令，则，数列为公比不为1的等比数列，当时，是数列中的项，当时，是数列中的项，所以对任意的，都是数列中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列，令，则，则，因且，，且，所以对任意的，都是数列中的项，所以对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”，故命题②正确；故选：A.三、解答题17.设，函数.（1）求的值，使得为奇函数；（2）若，求满足的实数的取值范围.解：（1）由为奇函数，可知，即，解得，当时，对一切非零实数恒成立，故时，为奇函数.（2）由，可得，解得，所以解得：，所以满足的实数的取值范围是.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.（1）求证：点E是棱PD的中点；（2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小.（1）证明：连接BD，它与AC交于点，连接EF，四边形ABCD为矩形，为BD的中点，平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于，，又点是BD的中点，点是棱的中点.（2）解：方法一：∵PA⊥平面，平面，且就是PC与平面ABCD所成的角，故，解得.四边形ABCD为矩形，，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD.在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则，是二面角的平面角.在直角三角形PAD中，，点是PD的中点，，且，平面平面，，故，所以，故二面角的大小为.方法二：∵PA⊥平面，平面，且就是PC与平面ABCD所成的角，又四边形ABCD矩形，，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，由，可得，则，故，解得且，所以，又是平面AED的一个法向量，且为锐角，故，可得.所以二面角的大小为.19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别频数926655347（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.解：（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为，，，，，，所以的分布为，即的数学期望为39；（2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件，则，，由，可得，所以，所求比值.估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20.如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；（3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.解：（1）设的方程分别为与，由，得，故坐标分别为，所以故，故与的方程分别为与.（2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意；当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，可知，故，设点坐标为，可知且，解得，故点的坐标为，（3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为，则，的方程为，代入可得，故，所以，同理可得，又，故，故，即，所以存在，使得.21.若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.（1）解：显然直线切的图象于点，直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，所以函数的图象不存在“自公切线”.（2）证明：由恒成立，且仅当时，则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令，由的图象是连续曲线，且，因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；假设的图象存在“自公切线”，则存在且，使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，切线，，有相同截距，即，而，则，即，则有，即，令，，即函数在上单调递增，，因此当时，，即在上无解，所以的图象不存在“自公切线”.（3）证明：对