四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（三）数学试题（文）（全国卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（三）数学试题（文）（全国卷）一、选择题1.若为实数（为虚数单位），则实数（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因为为实数，故，得．故选：D．2.设全集为，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题，为全体正奇数构成的集合，故为全体非负偶数构成的集合，所以．故选：A．3.如图，平行四边形中，，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选:B．4.某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（）A.980万元 B.920万元 C.880万元 D.840万元〖答案〗C〖解析〗设4家超市2023年的年利润从小到大依次为，则，解得，所以2023年该超市集团的总利润为880万元．故选:C．5.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，显然它定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，，则，所以，.故选：C.6.若椭圆的离心率为，则的值为（）A B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗时，离心率为，解得；当时，离心率为，解得.综上所述：或.故选：D7.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，若网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三视图可知，该几何体为四分之一圆台，且圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为4，所以其体积为．故选：B．8.已知，，，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故选：A.9.已知直线与圆交于两点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以圆心到直线的距离为1，即，解得．故选：A．10.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为:设,则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C．11.已知为定义在上的单调函数，且对，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，所以，即，设，易知在上单调递增，所以，即，故，所以．故选：B．12.已知函数在上有且仅有4个零点．则图象的一条对称轴可能的直线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因为，所以，若在上有且仅有4个零点，则，解得，令，得，因为，所以．当，当，当，只有D符合.故选：D．二、填空题13.若实数满足约束条件，则的最大值为______．〖答案〗1〖解析〗可行域如图阴影所示，设，则为可行域内的点与点连线的斜率，可知当直线过点位于时，取得最大值1．故〖答案〗为：1.14.写出与函数在处有公共切线一个函数______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题，，，〖答案〗不唯一，满足，即可.取，则，显然满足，.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.在中，，，且，则边上的高______.〖答案〗6〖解析〗，注意到，，可得，，，由正弦定理得，得，所以.故〖答案〗为：6.16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过原点O的直线l：与C交于A，B两点，O为坐标原点.若，则的面积为______.〖答案〗2〖解析〗由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，因为，所以平行四边形为矩形，故，，不妨设点A在C的右支上，，则，所以，得，所以.故〖答案〗为：2三、解答题（一）必考题17.生物病毒（Biologicalvirus，以下简称病毒）是一种个体微小、结构简单、只含一种核酸（DNA或RNA）的非细胞型生物.一部分病毒可以感染人类，导致人类出现病毒性疾病.研究人员为了研究某种病毒在常温下的存活时间与空气相对湿度（以下简称湿度）的关系，对100株该种病毒样本的存活时间（单位：小时）进行统计，如果存活时间超过8小时，即认为该株病毒“长期存活”，经统计得到如下的列联表.存活株数湿度长期存活非长期存活湿度40%以上15a湿度40%及以下b45（1）以频率估计概率，若在这100株病毒样本中随机抽取1株，该株病毒为“长期存活”的概率为，求a，b；（2）是否有95%把握认为病毒“长期存活”与湿度有关.附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）若在这100株病毒样本中随机抽取1株，该株病毒为“长期存活”的概率为，则，所以，解得.又，解得，所以，.（2）得到列联表如下存活株数湿度长期存活非长期存活合计湿度40%以上153550湿度40%及以下54550合计2080100根据列联表中数据，计算得.所以有95%以上的把握认为病毒“长期存活”与湿度有关.18.已知数列的前n项和为,，,且当时,.（1）求；（2）设数列的前n项和为，证明：.（1）解：由，，得，当时，，故，即，所以，，，，…，，将各等式左、右两边分别相加得，.，符合上式，所以.（2）证明：由（1）知，所以，因为，所以，所以.得证.19.如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.（1）证明：平面平面ABCD；（2）求点A到平面SBC的距离.（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，易得，，因为，，所以，，，故，又，，所以，故，因为平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因为平面SCD，所以平面平面ABCD.（2）解：由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB边上的高，所以.设点A到平面SBC的距离为d，则，即，解得，所以点A到平面SBC的距离为.20.已知函数.（1）当时，求的单调递减区间；（2）若有两个极值点，（）.①求实数b的取值范围；②证明：.（1）解：当时，，的定义域为..令，得.所以的单调递减区间为.（2）①解：，.因为有两个极值点，，所以方程有两个不等正根，，所以，解得.则实数b的取值范围为.②证明：.所以.令，下面证明，求导得，显然在上单调递增.因为，，且在上连续，所以，函数存在唯一零点，即.并且时，，时，，所以.因为，根据对勾函数的性质得在上单调递增，则，所以，所以.命题得证.21.已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于两点，为的中点，且点到抛物线的准线距离的最小值为2．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线在两点的切线相交于点，求点的横坐标．解：（1）由题知直线的斜率不为0，设直线，与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义，知点到抛物线准线的距离，所以当时，，所以抛物线的方程为．（2）由题易知抛物线在两点处的切线与坐标轴不垂直，设在点处切线方程为，即，与抛物线方程联立得，，即，解得，所以，即，同理可得抛物线在点处的切线方程为．设，由，得，由（1）知，所以，所以点的横坐标为．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线：与曲线C和直线l分别交于A，B两点，求.解：（1）由，得，得，将，代入得，即.由直线l的极坐标方程为，得，将，代入得，所以曲线C的极坐标方程为