四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题（文）第I卷（选择题）一、选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.

故选：A.2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.3.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C.4.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18 B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定 D.甲的单场平均得分比乙低〖答案〗B〖解析〗对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误；乙的数据由小到大依次为：乙得分的中位数为，故B正确.乙得分的平均数为，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为，另一个可设为，其中，故其平均数为，故D错误.故选：B.5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除BD；当时，，因为为上减函数，为上的增函数，则为上的减函数，且当，，则当，，故，排除A.故选：C.6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.250 B.240 C.200 D.190〖答案〗C〖解析〗程序运行时，变量值变化如下：，，，不满足；，，，不满足；，，，满足，输出．故选：C．7.已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因为椭圆C：所以该椭圆，，则，设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为，连接，因为，所以，因为分别为的中点，所以，又，所以.故选：B.8.已知函数的图象关于直线对称，则的值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为（其中），又函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得.故选：D9.定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因为定义域为的函数满足，即，所以是以为周期的周期函数，又，则，所以关于对称，又，又，又当时，函数，所以，则，令，即，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：由图可得与有个交点，交点横坐标分别为，且与关于对称，与关于对称，所以，，所以方程的所有实数根之和为.故选：D10.已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为,且，则的离心率（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，而以线段为直径的圆的方程为，联立，结合，解得或，因为在第一象限，所以，又，则，而，，所以，所以，即，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.11.已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且，，平面平面，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为三棱锥底面是边长为3的等边三角形，所以，则，设的外接圆的半径分别为，则在等边中，，在中，，所以，则，，设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面，则，所以其外接球的表面积为.故选：D.12.已知，都是定义在上的函数,对任意，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.函数的图像关于直线对称 D.〖答案〗D〖解析〗对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，

可得，结合得，所以，故A错误；对于D，因为，令，代入已知等式得，

将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，

又因为，所以，

因为，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，

两式相加易得，所以有，

即，

有，

即，所以为周期函数，且周期为，

因为，所以，所以，，所以，

所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.第II卷（非选择题）二、填空题13.已知向量满足，则___________.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，所以，解得，故〖答案〗为：114.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值等于______.〖答案〗〖解析〗如图，画出可行域和目标函数，可得在点处取得最大值，此时故〖答案〗为：.15.若函数有零点，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为________．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，两式相减得，因为，所以，由正弦定理得，即，所以，则，因为在中，不同时为，，故，所以，又，所以，则，故，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最大值为.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.已知数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．解：（1）因为，当时，，所以，当时，，所以，整理得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为;（2）因为，由题意得：，即，所以.18.如图，为圆柱底面的内接四边形，为底面圆的直径，为圆柱的母线，且．（1）求证：；（2）若，点在线段上，且，求四面体的体积．（1）证明：因为为底面圆的直径，且，即，又，所以，所以，所以，又为圆柱的母线，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：在中、，所以，又，则，设，所以在中，，，所以，则，又，连接，所以，因为平面，平面，所以平面，又，所以，又平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，且，平面，所以平面，所以.19.某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．（1）估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？（3）在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．附：，其中．解：（1）根据频率分布直方图知，，所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为分.（2）由（1）及已知得列联表如下：

不满意满意总计男183250女302050总计4852100则的观测值为：，所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”.（3）由（2）知满意度分值低于70分的学生有48位，其中男士18位，女士30位，用分层抽样方式抽取8位学生，其中男士3位，女士5位，记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位的事件为：，共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人概率为.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求实数a的取值范围．解：（1）因为，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程；（2）因为，且，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；不妨令，当，即时，在单调递增，在单调递减，且，所以，此时符合题意；当，即时，在和单调递增，在单调递减，显然在处取得极小值，此时极小值为，而，所以，要使，则必有，解得，故，综上:的取值范围是.21.设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．（1）求的方程；（2）过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．解：（1）依题意，点的坐标为，又，，所以点的横坐标为，由拋物线的定义得，所以，所以拋物线的方程为.（2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，联立，消去，得，易知，设，则，故，因为的准线为，因为直线平行于轴，所以点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线的斜率为，其方程为，因为点的纵坐标为，所以点的横坐标为，所以，因为，则，所以，即的取值范围是.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角．解：（1）将代入曲线的极坐标方程中，得曲线的直角坐标方程为，即；（2）因为点在直线上，将直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程，整理