2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题汇 A题 定日镜场的优化设计- E题 黄河水沙监测数据分析

2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先读“大学生学建赛论文式规）A题 定日镜场的优化设计措施。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术[1]。示意图见图1。两转轴的交点（也是定日镜中心）离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式集热器中心。集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。图1 定日镜及底座示意图（/item/%E5%AE%9A%E6%97%A5%E9%95%9C/9109957）现计划在中心位于东经98.5∘，北纬39.4∘，海拔3000m，半径350m的圆形区域内建设��轴正向，垂直于地面向上方向为z轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系。规划的吸收塔高度为80m，集热器采用高87m的圆柱形外表受光式集热器。吸收塔周围100m镜面左右两条边之间的距离称为镜面宽度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在2m至8m之间，安装高度在2m至6m之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及5m以上。21日12:00、13:30、15:00。图2 圆形定日镜场示意图（金台资讯，2021-11-22）请建立模型解决以下问题：问题16m×64率及输出热功率的定义见附录）。请将结果分别按表1和表2的格式填入表格。问题260MW。尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表1、2、3的格式填入表格，并将吸收塔result2.xlsx文件中。问题3出热功率尽量大。请将结果分别按表2和表3的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、各定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到result3.xlsx文件中。表1 问题X每月21日平均光学效率及输出功率日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率热功率(kW/m2)1月212月213月214月215月216月217月218月219月2110月21日11月21日12月21日表2 问题X年平均光学效率及输出功率表年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面年平均输出热功率(kW/m2)表3 问题X设计参数表吸收塔位置坐标定日镜尺寸（宽×高）定日镜安装高度定日镜总面数定日镜总面积(m2)注 在表3中填入问题3的结果时，“定日镜尺寸”及“定日镜安装高度”两栏可空缺附录 相关计算公式1.太阳高度角𝛼𝑠[3]太阳方位角[4]

sin𝛼𝑠=cos�cos𝜑cos𝜔+sin�sin𝜑sin�−sin𝛼𝑠sin𝜑cos=

cos𝛼𝑠

cos𝜑其中𝜑为当地纬度，北纬为正；𝜔为太阳时角𝜋𝜔=其中��为当地时间，�为太阳赤纬角[5]

(��−12),12sin�=sin

2π�

2πsin(

23.45),365 360其中�为以春分作为第03月214月1日对应�=11。2.法向直接辐射辐照度DNI（单位：kW/m2）是指地球上垂直于太阳光线的平面单位面积上、单位时间内接收到的太阳辐射能量，可按以下公式近似计算[6]�𝑠DNI=[�+�exp(−sin𝛼)],𝑠�=0.4237−0.00821(6−�)2,�=0.5055+0.00595(6.5−�)2,�=0.2711+0.01858(2.5−�)2,其中为太阳常数，其值取为1.366kW/m2，�为海拔高度(单位：km)。3.定日镜场的输出热功率为𝑁=DNI·∑𝐴𝑖𝜂𝑖,𝑖其中DNI为法向直接辐射辐照度；𝑁为定日镜总数（单位：面）；𝐴𝑖为第𝑖面定日镜采光面积（单位：m2）；𝜂𝑖为第𝑖面镜子的光学效率。4.定日镜的光学效率𝜂为𝜂=𝜂sb𝜂cos𝜂at𝜂trunc𝜂ref,其中阴影遮挡效率𝜂sb=1−阴影遮挡损失，余弦效率𝜂cos=1−余弦损失，2大气透射率𝜂at=0.99321−0.0001176�HR+1.97×10−8×�HR集热器接收能量

(�HR≤1000)[7],集热器截断效率𝜂trunc=

,镜面全反射能量−阴影遮挡损失能量镜面反射率𝜂ref可取为常数，例如0.92,其中�HR表示镜面中心到集热器中心的距离（单位：m）。参考文献[1]24频道，新闻直播间，2023年8月14日16:46:23.[2]张平等，太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法[J]，技术与市场，2021，28(6):5-8.[3]百度百科，太阳高度角，92?fromModule=lemma_search-box[4]百度百科，太阳方位角，92?fromModule=lemma_search-box[5]蔡志杰，太阳影子定位[J]，数学建模及其应用，2015，4(4):25-33.[6]杜宇航等，塔式光热电站定日镜不同聚焦策略的影响分析[J]，动力工程学报，2020，40(5):426-432.[7]O.Farges,J.J.Bezian,M.ElHafi,GlobaloptimizationofsolarpowertowersystemsusingaMonteCarloalgorithm:ApplicationtoaredesignofthePS10solarthermalpowerplant[J],RenewableEnergy,2018,119:345-353.2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先读“大学生学建赛论文式规）B题 多波束测线问题出海水的深度，其工作原理如图1所示。由于单波束测深过程中采取单点连续的测量方法，因此，其测深数据分布的特点是，沿航迹的数据十分密集，而在测线间没有数据。 （只有一个波束打到海底）（多个独立的波束打到海底）图1 图2 能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波，其工作原理如图2测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带（图3）。 图3 条、线重区域 图4 覆宽度测间和叠之间关系多波束测深条带的覆盖宽度𝑊随换能器开角�和水深𝐷�=1−𝑑𝑑为相邻两条测线的间𝑊距，𝑊为条带的覆盖宽度（图�<0，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有10%~20%的重叠率。但真实海底地形起伏变化大，若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重的情况（图6），数据冗余量大，影响测量效率。 图5 图6 问题1 与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为�7），称�为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。图7 问题1的示意图若多波束换能器的开角为120∘，坡度为1.5∘，海域中心点处的海水深度为70m，利用上述模型计算表11result1.xlsx文件中。表1 问题1的计算结果测线距中心点处的距离/m−800−600−400−2000200400600800海水深度/m70覆盖宽度/m与前一条测线的重叠率/%—问题2 角为�，请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。图8 问题2的示意图若多波束换能器的开角为120述模型计算表2中所列位置多波束测深的覆盖宽度，将结果以表2的格式放在正文中，同时保存到result2.xlsx文件中。表2问题2的计算结果覆盖宽度/m测量船距海域中心点处的距离/海里02.1测线方向夹角/°04590135180225270315问题3 考虑一个南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度为m，西深东浅，坡度为1.5∘，多波束换能器的开角为120∘。请设计一组测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足10%~20%的要求。问题4 海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长5海里、东西宽4海里）相邻条带之间的重叠率尽量控制在20%如下指标：(1)测线的总长度；(2)漏测海区占总待测海域面积的百分比；(3)在重叠区域中，重叠率超过20%部分的总长度。注在附件中，横、纵坐标的单位是海里，海水深度的单位是米。1海里=1852米。附件 海水深度数据2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先读“大学生学建赛论文式规）C题 蔬菜类商品的自动定价与补货决策求情况每天进行补货。3:00-4月至月较为丰富，商超销售空间的限制使得合理的销售组合变得极为重要。附件1给出了某商超经销的6个蔬菜品类的商品信息；附件2和附件3分别给出了该商超2020年7月1日至2023年6月30日各商品的销售流水明细与批发价格的相关数据；附件4给出了各商品近期的损耗率数据。请根据附件和实际情况建立数学模型解决以下问题：问题1品类及单品销售量的分布规律及相互关系。问题2定价的关系，并给出各蔬菜品类未来一周(2023年7月1-7日)的日补货总量和定价策略，使得商超收益最大。问题3售单品总数控制在27-33个，且各单品订购量满足最小陈列量2.5千克的要求。根据2023年6月24-307月1品类蔬菜商品需求的前提下，使得商超收益最大。问题4为了更好地制定蔬菜商品的补货和定价决策，商超还需要采集哪些相关数据，这些数据对解决上述问题有何帮助，请给出你们的意见和理由。附件1 6个蔬菜品类的商品信息附件销售流水明细数据附件蔬菜类商品的批发价格附件蔬菜类商品的近期损耗率注 (1)附件1中，部分单品名称包含的数字编号表示不同的供应来源。(2)附件42023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先读“大学生学建赛论文式规）D题 圈养湖羊的空间利用率益的重要问题。小、生长阶段决定。约为3周，然后将种公羊移出。受孕母羊的孕期约为5个月，每胎通常产羔2只。母羊分娩后哺乳期通常控制在6周左右，断奶后将羔羊移至育肥羊栏喂饲。一般情况下，羔羊断奶后经过7个月左右育肥就可以出栏。母羊停止哺乳后，经过约3周的空怀休整期，一般会很快发情，可以再次配种。按上述周期，正常情况下，每只基础母羊每2年可生产3胎。在不考虑种公羊1:50交配期原则上不关在同一栏中。14种公羊每栏不超过41只种公羊及不超过14过8614只羔羊。原则上不同阶段的羊只不能同栏。时，可以租用其他场地。请建立数学模型讨论并解决以下问题：问题1 20期149天，每胎产羔2只，哺乳期40天，羔羊育肥期210天，母羊空怀休整期20天。该湖羊养殖场现有个标准羊栏，在实现连续生产的条件下，试确定养殖场种公羊与基础母羊的合1500现有标准羊栏数量的缺口。问题2在问题1的基础上，对112个标准羊栏给出具体的生产计划（包括种公羊与基础大。问题3 问题1和问题2中用到的数据都没有考虑不确定性，一旦决定了什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种，后续对羊栏的安排和需求也就随之确定。例如，用3个羊栏给4267期结束就需要给84只断奶羔羊和42只母羊共安排9个羊栏进行育肥和休整。但实际情况并非会影响空间需求。现根据经验作以下考虑：(1)母羊通过自然交配受孕率为85%，交配期结束后30天可识别出是否成功受孕；(2)在自然交配的20天中受孕母羊的受孕时间并不确知，而孕期会在147-150天内波动，这些因素将影响到预产期范围；(3)怀孕母羊分娩时一般每胎产羔2只，少部分每胎产羔1只或3只及以上，目前尚没有以按平均每胎产羔2.2只、羔羊平均死亡率3%估算。(4)哺乳期控制在35-454012期每增加1218天的前提下灵活调控。此外，如有必要，允许分娩日期相差不超过7天的哺乳期母羊及所产羔羊同栏，允许断奶日期相差不超过7天的育肥期羔羊同栏，允许断奶日期相差不超过7天的休整期母羊同栏。为简化问题，不考虑母羊流产、死亡以及羔羊在哺乳期或育肥期夭折和个体发育快慢等情况。在以上不确定性的考虑下，生产计划的制定与问题1和问题2将有较大的不同：一旦作出了“什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种”的决定，后续羊栏的需求和安排不再是但无法改变或调整上一步。因此，某种意义上，本问题要讨论