硕士研究生招生考试试题数学二解析2010

20102010年数学（二）真题解析一、选择题（1【答案】（.解】 显x?=士1为7）的间断点.由）=lim X A=哮得工=为）的可去间断,X一X/1+C . \/l+?2由lim(jr)=lim ------------------=—m------———190 - x—1 —工 十一工十1T2一T/lIr2~ /lI 2~limf{x）=lim—--------------------=lim-------——=1,得工=0为f{x）的跳跃间断点,工->°+ 工―°+工一1 乂 工-*。+Z十丄lim：=oo=-~1为x应选.2）【（.【〜】 （H1=_,解 由1夕2为y+pzy=_z的解,32+夕2=（.1+〃夕2为一阶非齐次线性微分方程夕'+p（=qO贝Qi+夕2'+力（）（1十阳=g,1十〃（）夕〃2（2=（），即入+pq（H）=q_,所以入+〃=1;又若入％一》‘+y=的解，贝J入［『1+ ）一〃》2十/（夕］=0,整理得（一〃）=07x）H0A—11=0于是入=〃*应选（.方法点评：本题考查线性微分方程解的结构与性质，事实上本题可以直接应用如下性质：设力％几j/+（y=（），则）+^2^2++<为一阶齐次线性微分方程y'+p{x}y—0的解的充分必要+…+匕=；）1 k22+ 为一阶非齐次线性微分方程十py=_的解的充+k2+—1.）【答案】.f^o=aln工0,【】 设切点的横坐标为工0，则: a 解得a=2e应.工（）,I S）答案】D.【解乂=0；=1为反常积分［n［ 的瑕点,J。 7Tp/（1—工J F沁+\/l2(1—)J。亍 ckz•90•兀兀71n2(l—x) 1因为lim =1fo+且a=2 9 "(1)也收敛;n mV1所以 02_巫「1呼厂^・1(1-亠 .In叫又因为lim(l lim——工―厂 2厂2_ 1 -0,1皿匸讥工收敛故1如■匸上)£应选(且a=j<l,所以h7 方法点评：对区间有限但函数有无穷间断点、的反常积分敛散性判断通常有定义法和判别法.(1€C(a,b]且jh—的右邻域内无界.'b Ch定义法：对任意的e>0,若lim )dz存在，则称反常积分|f(x)dz收敛，否则称为Ja发散.判别法：lim一akf(x)A(H则当0V&V1,0WA+，反常积分—a+fC.cdx收敛；当 >1,0<A<4-oo，反常积分/(7dx发散.(26C[)，=b的左邻域内无界.Cb—€定义法对任意的e>0lim /()cL存，则称反常积分「yGHcL收敛否则称为发散.判别法：设limkb—xVfCx)=A(工°°)，则当0<bV1,O£AV+ 时，反常积分x-^b~f(x)d>1,0<A<+o时|'bf(_z)cL发散.(5)【答案】(B).【解】方法一复合函数求导法则X3z N------(y9n)=两边对求偏导得一 4 X2XX JC ；=0x 3C JC1^2F2_，)=两边对求偏导91~-----；—=09解得茫9X X> X X oy dy 2于是2字+夕吉(+2)— =，应(E)竝 dy 02 2方法二 公式法令Q,y,z)=F77)5•91•由由G：=三码—；9；—：9；—9得3C X 2 E‘ (+； 7i 町3z X x X 1 / / dz3： ------------------=^(+旳， =~ 可'G— 1-/ 2 y 丄肥—户2X X于是工話+垮=寺(曲+z；(B).方法三 全微分法F工=两边求全微得 f4 f 0,XXfj?dv—y^jc,厂‘xdz—zdz .uk士整理； ---------------------------=0从而有x2 21 F'Idz=—=rr(yF〕zF2)dj：—讦dy,xF2 F2于是$=冷厂W）ox xr2 兀，v空=丄d±ydy 2(yF+zF)~yA9（.（】1【｛（29|WW19OW»W1（人一—9十X十夕）由若若小）n+°=（ 1 -根据二重积的定义得1+ 1+5/_牙若Cn+z)(?n2+j2) ,j)djdy= i+】7^应soD方法点评：用定积分、重积分等的定义求极限是极限计算的一种重要类型，重点考查定积分定义求极限.1：li丄n /(a*)dj.【例求极限liml+'W?+齐丄Fi+【解】•92•dt(2)dt(2)二重积分的定义求极限：lim (o-,y)cLrdjy,*D其中D—{(jc,y)| Wl,OWyWl}.【答案】(A).【解】 因为向量组I可由向量组n线性表示，所以r(I)Cr(n),且r(H)Ws.(1)=厂，所以r 应选(A).方法点评：本题考查向量组的秩的性质，应熟练掌握以下几个性质：(1)H线性表示r(IXrII；(2)任何向量组的秩不超过其所含向量的个数；(3)向量组线性无关的充分必要条件是该向量组的秩与向量个数相等；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于向量的个数；(4)若向量组I线性表示但反之不成立(I)<(II).【答案】(D).【解】 令AX=AX(XHO),由(2+A)X=(2+A)X-0X工0=0于是入=0或A=-1.因為小吹込⑷“删“T拓難征值如〜「T 1 |应选(D).二、填空题(9)【答】i2j+cos +C3n^-(1,,3为任意常数).【解】 特征方程3—2A2+A—2=0解得特征根A!=22,3=士，则原方程的通解为y=xT+cosx+nx(C],2»3为任意常数).(10)【】y=2."V / 彳 \ —Q了【解】 由lim—=2, lim(夕一2)=lim勺(----2cI=lim =0，工00X 工8 1 / x°° X_—1n 3》=2工.x+1•93•(11)【(11)【答案】 -2"(n-l)!.【解】方法一归纳法o3 n■出， 2 〃 22 由丿一匸L —2工严" ::、3'…'根据归纳法得（1一LX）） ，于是3/2(0”77-1)!.方法二 麦克劳林公式法2由ln(l+_z)=H—专•••(—1)”TX+0（工"），n2r2 9n得y=ln(1一22o-----------\~n+o(工"9L n(n)/n\ o又由 =3/()+j/(0)«z+…+--------n+O(得----n! n! n5(0)=—2"•G—1)!.12【答I en-1).【】 由ds="d+2(0)d0=J2e° ,得弧长为丿厂2(0)+厂"(0)d9=麗e°d0=(n_1).0 J013【答】 3cm/.— dw【解2+2M&=〒一=3,dt dt/d/+ dw— w—等式z= 两边对t求导，得手= dz dz 12X2+5X3 cat J2+2 (12) ----, =3,yi2+2故对角线增加的速率为3cm/s.1【答】 3.【解】 方法一 +B1=\ABB1+B1|=B+E|•|旷|=E|1 1 Q=b・b+"=]=3.方法二 由A+B1=(B!B)A+ =B~(B+A_1)A,得|ABm|B+「|・|A|=骨•|B+「|3.三、解答题2(15f(x= jc2一t)ezAt=j2 J te ck9J1 12 2_2「dz2«z3e-^—23「丁=2工ie1di=0,z=—101.方法一 当当ze((-OOoo,-1)时,y'Q)V0当261,0/'(工>0,当工0,1)/■'&vo当工(1,+),/7)>o,fl fl 2 1的极小值为于(土1)=0,极大值为/(0)= te~'dr=—(1—e_1).Jo L2方法二 f"=2 _zdr+乂$ex1因为f(±1)—>0(0)=〔1LckV09e J0所以x=—l,z=1为，+1)=0,fCO）=\e~f2df=^(1I9o 2 e/(工)的单调减区间为(一00,—1)及(0,1) 的单调增区间为(一1,0)及(1,+oo).方法点评：本题考查变积分限形式表示的函数的单调性与极值.对变积分限形式的函数，有两个习惯步骤：一是将被积分函数中去除上下限所含的变量（如本题被积函数中去除工），二是对变化后的函数求导数.本题求单调区间与极值都属于基础知识范畴.(16)[解】(I)0<t<1时,ln(l+z)t.则当te(0,1)，IIn/I[ln(l<rIIn^于是JIIn/I[ln(1td/£I1ZnIInrId/.J0n方法一 由(I得 +t)W Int|dr9即J0nt|ck9而[广|In/|ck 1 *lnzd+) 1 1J0 7Z+1o z?+1 n+1Int 0tndt1 #”+l1 J.lnzo+TTTI)71因为lr+"In =lm~r~=lim 7+T=一丄雪严+ + 丄 —o+,”+l ”+2所以 n/|dt=-----/ ；从而0£ ndD+刀了w訂行(n+1) 0由夹逼定理得limfIInZIEln(lr)]"ck=O.n->ooJ0方法二 0 |In£|[ln(l+ £l2j|In£|d£9即0 nnn2|1|InZ|dz,J0 01 1而||Inf|dz=— Intdt=—t\nt + At=—t\nt +19J0 J0 0 J0 01由limnt=lim——=lim------=lim—)=09得 nf|ck=19—o+ + _+ '~7 —P于是0w "2注意lil2=0由夹逼定理得li”=0.njj•95•(17)【(17)【解】 dy_^y/At_0'(£)djc dj?/ck 2+2t(2+2/)t)—2/)(2+2z2 =(l+t/&)d2 djr/dr 2+2/ 4(lz3市d?j/ 3 /曰1+/)0t)—，) 3由4(1+/侍 4(1+刀3 =4(1+/，+39于是得满足初始条件的微分方程为丿 (1+°5°(1)=—,/'(I)=6.方法一 由-----—■~-------=3(/)一 一(/)=(1+/,(1+» 1+/⑺3(1+讥卜丘"曲+C卜币"=0(1+/)+3/(1+/),由力(1)=6得G=9于是 =3/(11，。(上)/(1+t)dr=2+3+C?9由 (1=5。29。)=32+・— —方法二 得/帛〔3从而豊2=別+°，(1+z20Z(z)=3/(1/)Ci(l/).由°'(1)=6得Ci=于是=3/(11)9积分得/(f)=3^(1+/)df=—2+3+2?5 3由°(1㊁得C?9故0(2+3方法点评：本题是参数方程求导数与微分方程综合问题，先求导数9根据所给条件得到微分方程，解微分方程，并根据初始条件求出未知函数，本题微分方程的解法二注意掌握.(18【解】 建立如图所示的坐标，油罐底面为椭圆方程3+^=1，a b方法一 工轴下方的半椭圆面积为7rab,，96abab6(1+cos2t)ck=abo T+Tsin血o口面积为S=S|十S2=（竽+晋必体积为—俘+ abl9故油的质量为m=pV方法二 设油面高度上方截口面积为，t•6cost^t 2ab^:cosLdt•|+*sin2tT 7Tabn(1cos2才)dr=ab石 7油面截口面积为S=nab—ab7T 43 孚+的体积为V=Sl 孚+ abl,故油的质量为m=pV=2兀 ^3T+Tabl.CQ\r的、 3u—3u 韭丄3“ 3r]_3u (19)【解】狂=亦•狂+石•狂=亦+斫dx乜 du 3ddu dr) ddu du•----1 _=tz—+6 ,3y 0E d3) J d3^ dr/d2U 2U 弋_ du 7, 3u 3^ d2u 3_^u 2u ,3ud：2 —• -------•-----|Fc.-• 2* d2 工d^drj dx 3rd^ dx dl 狂—走23^d吋du /u ^ d2u 可 2U 二+.辺时=°\32 dy dgdrj dy +bdr]d^ dy (?2 3y/2 W d2u 2 d2u=aTT+2ab----Hb329d^dr)2U d2u 3f d2U +d2u•33^|---2u3)d：dy •Hd^drc— dy'dr3^ dJ )2 dydyd2u d2U=CL-Q+b)此2代入原方程得护 g2 du(5(2+12a+4)-+[_10ab+12(a+b)+8]d^drj+(5胪+12b+4)7 0,3V52+12q+4=09 —2， £a由题意得・562+12+40, 或?12(qb)8HO9 b=2.方法点评1变换前函数关系u-a-,3在变换 +ay,/=x+b函&—t（工v）u=E,,4=少（）,即诃为中间变量•97•____2U ____卩II __2U2,dxdy'dy2'(2)因为“=/(工，夕)二阶连续可偏导，所以云普=厂2d^) 可吐(20)【解】积分区域化为直角坐标形式表示为D={(j,jy)IOWWIH：贝=2n9』\一$cos20d0=jjy —x2 2drdyD D(：[y丿]一乂？)2*J0 Jo=丄fdrf(一2+j2)2d(l一j2+j22Jo Join i i iri i—- [1—(1—22]dr=--------— (1—2)2dr3Jo 3 3Jox=sint 1 +「cosSd/=+-+人 丄—丄亘丄三 1 7t"I oJ0 o o *Z*T*7 T_16'方法点评：用极坐标法计算二重积分通常具备如下两个特征之一：(1积分区域的边界含+/； (2)被积函数中含2-V.本题无论是积分区域还是被积函数都应该用直角坐标法，故先将区域及被积函数转化为直角坐标形式，再使用累次积分计算.3(21)【证明】 令FQ)=/(工)一才，F(0)=0, F(l)=0.由微分中值定理，存在WG(°，》)MG(㊁9使得p(y)-()=l7)=y)-],1)—() =5)L5 )/],两式相加得)-o)=y[7)-2-]=0,故)+7)=2+2.)+/"=2+^2y()—孑=_/"—声显然等式两边需1 r ri要的辅助函数相同，都是显然辅助函数在0,y与y-,1上使用拉格朗日中值定理即可.(22)【解】(I)因为线性方程组AX=b存在两个不同解，所以r(A)=r(A)<3,于是|A|=0.A 1 1A 1由IA|=0 A—1 0(A—1) (A+1)入一12=0得入一1或入1.1 A1 1 A98-1 -1 1 1 a 1 1 -1 1 /I 1 -1: 1当入=—1时A= 0 -2 0 0 2 0 -1 0 2 0 11 1 1 0 2 0 a+丿 o 0 0 :ar(A)=r(A)<3,a=-2-1 1 1 a\ 1 1 1: 1 \ /I 1 1当入 1,A=0 0 0 1 0 0 0 1