硕士研究生招生考试试题数学二解析2021

2021年数学2021年数学（二）真题解析一、选择题1）【答案】.【解】 由| （‘—d〜| 3dtj8： 得| ‘—d为才的高无穷小Jo Jo 4 Jo应选.）【答案】D.eJ 1【】 因为lij）=lim =1=0所在=处连续；j-0 xO JCe’1因为li/—4=lm工 i e"—1一x e"—1 1ZHO x jr0 x li--------2 =hm—z =—4#O X O Lx Z”工 0应选D.3【答案.【解】 设圆柱体的面半径为高为⑺，且=2学3,At \t=兀厂2/1表面积为）=2兀厂2+2nr•h,midV n dr 2 dAdS dr dr 贝Jd/=Lith----jcr•—,—=4兀厂•-\-Z7t/i-卜2jcr—,d/ At At dz dz dz代人r=10/z=5—=2—=3得，丁=—100，—=4，应.d/ dt At dr【.【解】 因为.X）=ax—b\nx有两个零点，所以由罗尔理存cC0,）使得yc）=a一—=0从而b=ac>0.cb ba x=0得 a因为f"dl>0,所以x=—为函数f(x)=ax—binj：的极小值点，极小值为x a/仔)—blb(l1<),又/X0+0)=9/X9所以)=ax—b\nX有两个零点等价于b(1—In—)0,即仝e,应选(A).\ a' a⑸【答案】(D).【解】f'Qx}=cxtanxz(0)=0,2j?tanx+3?/(0)=1,则a=(0)=0,6= ■应选•187•【答案】(C).【解】+1 )=xCx+l)2两边对z求导得+1,e")+x.x+1,*)=(z+12-\-2x{x+1)»=0得兀i,+i,)=；/(a:2)=2ln两边对工求导得2)+2工f，攵$)=工In工+2工，托(1,1)+2兀(1,1)=2,=dy,应选(C).(7)【答案】(E).应选（.【答案.【】 由题可Z1,攵2乞3）=+2乂工2+工1工3+孔工3，I0 1令A=1 24 1A -1 -1 1 0 0由-A1= 1 A-2 -1(A+1) 1 A-2 -2 =(A+1)23A)=0,1 -1 A 1 -1 A-1得入1=1,入2=0,入3=3,应选(E).(9)【答案】(D).【解】 令佝=kPx+1202+303'。2怡2101十&2202怡2303 3101+怡3202+爲[bii b2i b31\即A=(01.02,0)12 k22 b32=(卩•3)K=BK,AT=t =KB,b23 b33'若B0=0从而0=B0=0,BX=的解均为X=应选.10【】.1 0 °\【】 2 1 0,(A不对1 2 Q'1 0 02 1 1 不对；3 2 0 0'1 02 1—3 2.•188•11【】丽.】o In32(12)【答案】 §・【解兽=船=血，dj? djc/ck 2e+1dj_d(2/)/dt_ 2 d2yI =Ad2 dr/dt 2e+1 d2I<=o 3(13)【答案】1.【解当e=0,y=z=l,(j?+1)2+3/Inz—arctan2jcy=1x求偏导得=0,/=2,z=代入得亍7T 2(14)【答案】 -cos-.j/cos cosyyCOS—7T方法点评：直角坐标法计算二重积分时，若累次积分中表达式为如下形式时需要改变积分次序：⑴工叫2吐；(2)‘da；⑸【答案】夕+缺仁遇弓+Csi）C-CC为任意常数）.【解】 微分方程特征方程入3—1=0特征根为=i2 1+/T，,3=-f yi则方程的通解为y=e柴cosy+Csi弓）C,,2,3）.•189•(16(16［答】 5.X X i 0 0 0 1 01 X 2 一3 1一X 一x 2 3【解】/"(工)=2 1 X -3 1 1一x2 X -32 1 1 x一4 3 1—X 1 x一41—X -3 1 01 1一x2 一3 X2 1_2 3工2 33 一1一x jc一4 4+工 一1—X 4工+8=(1—工2)(4工+8)+(1工)(32—3)+x[_x2(4jc+8)4)(3jc2—3)〕9整理得工3项的系数为一5.三、解答题(17)【解】方法一1+ eck 1(1+edtsinx—e"+1lim o =lim nx (e°—l)snx(1+ edtsinx一 +1=lim 0X2工2 edt•sinx—e"+1+zlimsinx©+oX2 X2工2 oedt•sinx一 +1+jclimX2edz =limsinjc o i e—1—x-------------limX 3C2=lime，—lim匚=1—寺 丄厶JC I方法二1+ e/2dt \et2dt 1 11lim =lim~0 x-1 nx nxedt 由limlim =19h—o —1 lim 1 1 =limsinjc一 +1ex—1 sinx (eJ—l)sinxlimsinjc一e°+1 1v cosx一eJ----------------2 li?JQ Lix•190•£lim£lim(—sinx—er)= 1Z工*o 21+ e,2dt 1lim eJ-1 smx =1_I=Tj-—o方法三由泰勒公式得/=1+O（厂）93从而 edt=x+--。（工3）9于是有3工1+ Mdt 1+-------o(3) 1 1 1lim 0 1 =lim lim +JCsinx sinx ex一1 sinxlim 釧土 1 =1ilim—-------------+ sine—e°+1sinx 工一0(er一1)sinx1+limsinj;—e+1 1 cosX1十limX 一sinx一eJ 11+lim工―218【解】 函yx的定义域为°°9—1）U(―,)+2—1十J •zV0且jc工一19X21+工’ z$0.当工＜0且工工/■'（.） 21+" (1+"当工0■'&） 2+2z 21+工2、—1，当zw-00,-时_0当工6-1,0时,/〃（当工60,* 时,/"（＞0,, —10十为曲线的凹区（一1,为曲线的凸区间.f（工）=°°,所以x—1为曲线的铅直渐近线；由lim ）=一1,lim[x）+无=lim（ J2 TO _O' 1工+X 1得;y—工为曲线的一条斜渐近线；（无） x由lim-------=1,lim[c）— ]=lim lim 得夕=力1.►jO J8 81+工r +oo11为曲线的另一条斜渐近线.19【】 q^d_Z=2—+两边对工导得42宁1,6 ，/T 3从而/(jr)•191•(20)【(20)【解I由xr—63/=—63/ 6y=6，解得------ ------x JC夕=『(Jdx十〔®=E+1,J/(V3)=10C=y故夕=+工&1.(n)设P(a-,y)为曲线y= 6+1上的一点，则法线方程为X=yp==1工一90V"VI时，轨＜0,当工＞1时，扫P＞0,故I在工=时有极小值此时点的坐标为(1) ,]P=・[x=rcos9,/ 兀 一------\.(21)【解】令 oW0w〒,0wYMcos20 ,则\y=rsin0 ' 4Vcos20do 厂3sin0cos9dr1fy fJcos2E 1Cy— n20I dr=— n2J0 Jo oJ0-a「” 1 1 I 1------4co2(9d(cos2)=——•—co32^ 16Jo 16 3 Io 48【解】A—2 —1 0由-A= -1 A-2 0 -(2-4A+3)(A-6)=0—1 一a -bAj=1,A23,A3=b.情形一 =1，所以r(E-A)=l,•192•11 °0卜1 1 0\而E-A=-1 1 0 a一1 0，故a=1.1 一a J '0 0 0丿由…: o得入=的线性无关的特征向量aj1j,2'o 0 o' '0'/1 -1 0\ (1 01 I -得=的特征向量为3=1由3E-A=T 0 1-12丿 0' '11 00 1\ 1 0 0\令卩1 0 1 ,贝UP~AP=0 1 0.'0 1 o 0