函数的单调性与最值(含解析)

10/10函数单调性与最值一、知识要点1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥N②f(x0)＝N二、题型训练题组一1．定义在上的偶函数在上是减函数则()．A．B．C．D． 2．如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是（）A．减函数且最小值是B．减函数且最大值是C．增函数且最小值是D．增函数且最大值是．3．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（）A．B．C．D．5．设奇函数在（0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或6．已知偶函数f（x）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f（x－1）<f的x取值范围是（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（）A．B．C．D．9．若函数是定义在上的增函数，且满足，那么，关于的不等式的解集是。10．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是_______________．11．已知函数,若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．设函数，则满足不等式的的取值范围是．题组二13．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（）A．B．且C．D．14．设，则（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数15．设函数，则是（）A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．17．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（）A．B．且C．D．18．已知函数（R）是偶函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是（）A．B．C．D．题组三19．函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为，则．20．已知函数，在区间上是递减函数，则实数的取值范围为_________．21．设为正实数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________．22．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是．23．已知函若在上单调递增，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．24．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是．题组四25．已知函数在定义域上为增函数，且满足，．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．26．已知：定义在R上的函数，对于任意实数a,b都满足，且，当．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明在上是增函数；（Ⅲ）求不等式的解集．27.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．28.f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＜2.解析二、题型训练题组一1．定义在上的偶函数在上是减函数则()．A．B．C．D． 【答案】A【解析】是偶函数在上是减函数，2．如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是（）A．减函数且最小值是B．减函数且最大值是C．增函数且最小值是D．增函数且最大值是．【答案】A【解析】偶函数图像关于y轴对称，上是增函数，所以上是减函数，有最小值23．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，，，又因为在区间是减函数，，故选C．4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，在单调递减，在单调递增，因此由得，解得，选B．5．设奇函数在（0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】若在上为增函数，则函数在上为增函数，又,因为f（x）为奇函数，所以当时，当时，可以，当时，当时，可以；所以不等式解集为。6．已知偶函数f（x）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f（x－1）<f的x取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据偶函数，所以，所以原式等价于，，，解得．7．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，，∴函数在上为增函数，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴，∴，即．8．若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数为奇函数，所以，原不等式等价于，即与异号的解集，当时，增函数，又，所以，时，；当时，增函数，，故的解集是，故选A．9．若函数是定义在上的增函数，且满足，那么，关于的不等式的解集是。【答案】1,.【解析】由，令a=b=1,则f（1）+f（1）=f（2）-1,则f（2）=1,由，得f（-x）＞f（1）,则-x-1＞1，则。10．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．又因为，所以，所以，解得，故应填．11．已知函数,若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以函数在和上为单调递增的，且当时，；当时，；这表明函数在整个定义域内均为单调递增的，所以由得：，解之得：．故应选．12．设函数，则满足不等式的的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得在上是增函数，而时，，故满足不等式的x需满足，即，解得．题组二13．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（）A．B．且C．D．【答案】C【解析】首先判断奇偶性：B为偶函数，A,C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除B、D；在(0，2)先增后减，排除A,故选C．14．设，则（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；是增函数.15．设函数，则是（）A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数．，在（0,1）上，所以在（0,1）上单调递增，故选A.16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A．17．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（）A．B．且C．D．【答案】C【解析】首先判断奇偶性：B为偶函数，A,C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除B、D;在(0，2)先增后减，排除A,故选C．18．已知函数（R）是偶函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从图象可知，函数在上单调递减，所以在上与函数的单调性相同的是．选D．题组三19．函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为，则．【答案】【解析】当时，函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是，最大值和最小值的和同样是，解得20．已知函数，在区间上是递减函数，则实数的取值范围为_________．【答案】-3a≤-2【解析】设t=x2+ax+a+5，则f（x）=log3t，且函数t在区间（-∞，1）上是递减函数，且t＞0．∴，求得-3a≤-221．设为正实数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】由题可知，设，则，于是有，由于是奇函数，满足，故当时，，即有，根据分离常数法，化简可得，即的取值范围为；22．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】要使在上为减函数，则，即，解得；即实数的取值范围为．23．已知函若在上单调递增，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为增函数，由题意得 24．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由分段函数为上的增函数，得即,故答案为：题组四25．已知函数在定义域上为增函数，且满足，．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由原题条件，可得到，；（2），又∴，函数在定义域上为增函数，∴，解得的取值范围为．26．已知：定义在R上的函数，对于任意实数a,b都满足，且，当．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明在上是增函数；（Ⅲ）求不等式的解集．【解析】（Ⅰ）解：令（Ⅱ）证明：当由得,设（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得：解得,所以原不等式的解集是27.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．解：(1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．证法二：在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2＞0.则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.28.f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\v