2023年山东省泰安市泰山区东岳中学中考数学三模模拟试题

2023年山东省泰安市泰山区东岳中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.的倒数是（）A B.2023 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数的定义．乘积等于1的两个数互为倒数．由倒数定义进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：C．2.下面计算错误的是（）A.

B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，逐一进行计算后，判断即可．【详解】A、

，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B．3.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（）A.55° B.125° C.135° D.140°【答案】B【解析】【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°﹣70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=55°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣55°=125°．故选B．考点：平行线的性质5.为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务手机废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制统计表，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（）收集的废电池数（节）45678人数（人）691131A.平均数是6.5节 B.众数是11节 C.中位数是5.5节 D.极差为10【答案】C【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数以及极差的求解方法求解即可．【详解】解：这组数据的平均数为：（节），A选项错误，不符合题意；众数为6节，B选项错误，不符合题意；中位数为（节），C选项正确，符合题意；极差为（节），D选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了众数、中位数、加权平均数以及极差，解题的关键是掌握众数、中位数、加权平均数以及极差的求解方法．6.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为，故选：C．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．7.如图、在同一平而直角坐标系中、直线和抛物线的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．【详解】解：A、由一次函数图象可知：，当时，抛物线开口向下，故此选项不符合题意；B、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；C、由图可知，，，当，，抛物线开口向下，对称轴为直线，故此选项符合题意．D、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；故选：C．8.如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于()A.20° B.25° C.30° D.32.5°【答案】A【解析】【分析】连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．【详解】解：连接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．9.位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度

进行了测量．如图，他们从塔底的点出发，沿水平方向行走了米，到达点，然后沿斜坡继续前进到达点处，已知．在点处用测角仪测得塔顶的仰角为（点，，，，在同一平面内）．其中测角仪及其支架高度约为米，斜坡的坡度（或坡比），那么文峰塔的高度约为（）A.22.5米 B.24.0米 C.28.0米 D.33.3米【答案】C【解析】【详解】过点E作EM⊥AB于点M，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4，BC=CD=13米，∴设DG=x，则CG=2.4x.在Rt△CDG中，∵，即解得x=5，∴DG=5米，CG=12米，∴EG=5+0.5=5.5米，BG=13+12=25米，∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM=BG=25米，BM=EG=5.5米，在Rt△AEM中，∵∴米，∴AB=AM+BM=22.5+5.5=28米.故选C．10.如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由翻折的性质，得BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程并求解，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，根据题意，得：BF＝AB＝4，AE＝EF，∴设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴∴∴故选：A．【点睛】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解．11.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：X﹣1013y﹣33下列结论：（1）abc＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；（3）16a+4b+c＜0；（4）抛物线与坐标轴有两个交点；（5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；其中正确的个数为（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】C【解析】【分析】先根据表格中的数据大体画出抛物线的图象，进一步即可判断a、b、c的符号，进而可判断（1）；由点（0，3）和（3，3）在抛物线上可求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向并利用二次函数的性质即可判断（2）；由（2）的结论可知：当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，进而可判断（3）；根据画出的抛物线的图象即可判断（4）；由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，进一步即可判断（5），从而可得答案.【详解】解：（1）画出抛物线的草图如图所示：则易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）由表格可知：点（0，3）和（3，3）在抛物线上，且此两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝，因为a<0，所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵抛物线对称轴为直线x＝，∴当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，∵当x=－1时，y<0，∴当x=4时，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正确；（4）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，故（4）错误；（5）由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（5）正确；综上，结论正确的共有3个，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质以及抛物线与一元二次方程的关系，根据表格中的数据大体画出函数图象、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A.1.5 B.1.2 C.2.4 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．答案详解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知一个肥皂泡的泡壁厚度大约是米，个这样的肥皂泡的泡壁厚度一共为______米．（用科学记数法表示）【答案】【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：个这样的肥皂泡的泡壁厚度一共为：（米）．故答案为：．14.已知二次函数的对称轴为，则关于的一元二次方程的解为______．【答案】，【解析】【分析】本题考查二次函数、解一元二次方程，根据二次函数的对称轴可得的值，将的值代入一元二次方程，解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：二次函数的对称轴为，∴，，，，解得：，．故答案为：，．15.如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是______．【答案】####6.5【解析】【分析】连接，延长到，使得，连接，易得为的中位线，由三角形中位线的性质可得，再在中，由勾股定理可解得的值，然后证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得的值，即可获得答案．【详解】解：连接，延长到，使得，连接，如下图，∵，∴，∴，又∵点是的中点，∴为的中位线，∴，在中，可有，∵，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理、平行线的判定等知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．16.如图，扇形纸片的半径为4，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质，得出，推出四边形是菱形，连接交于D，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，∴，∵，∴，∴四边形是菱形，连接交于D，则，，，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是解题的关键．17.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．【答案】②③【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，结合对角对等边以及同角的余角相等，判断②，证明，判断①③，求出的度数，判断④．【详解】四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，故正确；又，，，，，故正确；点不一定是的中点，不一定等于，不一定等于，故错误，，，，，，故错误，故答案为：．18.如图，已知直线的解析式是，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，按此作法继续下去，则点的纵坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数和三角函数的综合应用，根据所给的直线解析式可得与轴的夹角为，进而根据所给条件依次得到的点的坐标，通过找到相应的规律即可求解，解题的关键是找到点的坐标规律．【详解】直线的解析式是，与轴的夹角为，∴，轴，，，，，，同理可得，，的纵坐标为，点和点在一条直线上，点的纵坐标为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.（1），其中；（2）解不等式组：．【答案】（1），；（2）不等式组的解集为【解析】【分析】（1）先根据分式混合运算的法则，把原式进行化简，再代入得值即可求解，（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【详解】（1）解：，当时，，（2）解：，由①得：，由②得：，故答案为：不等式组的解集为．20.在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）（1）本次随机调查了______户居民；（2）补全条形统计图的空缺部分；（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”大约有______户；（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．【答案】（1）200（2）见解析（3）480（4）【解析】【分析】（1）根据“调查居民户数D组户数D组所占百分比”，即可求解；（2）先求出A组居民户数，再补全条形统计图，即可；（3）由“C组户数小区总居民户数C组所占百分比”，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【小问1详解】解：根据题意，得（户），答：本次随机调查了200户居民；故答案为：200；【小问2详解】解：（户），条形统计图的A：天虹到家为50户，如图为补全的条形统计图，【小问3详解】解：（户），答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；故答案为：480；小问4详解】解：根据题意画出树状图，根据树状图可知：所有等可能的结果有12种，随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的有4种，所以随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率是．答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．【点睛】本题主要考查条形统计图和随机事件的概率，掌握条形统计图的特征，学会画树状图，是解题的关键．21.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）6（3）存在，，理由见解析【解析】【分析】（1）通过可求出反比了函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求得，通过，即可求得一次函数的解析式；（2）设一次函数的图像交x轴于点，根据一次函数的解析式求出C的坐标，分别求出，，再通过即可得到答案；（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，求出直线的解析式即可求得点P的坐标．【小问1详解】解：将带入得，∴，∴反比例函数的解析式为：；∵在反比例函数上，∴，∴，将和带入得，解方程组得：，∴一次函数的解析式为：；【小问2详解】解：如下图所示，设一次函数的图像交x轴于点，根据一次函数的解析式可以得，∴∴，∴，，∴；【小问3详解】解：存在，如下图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，∵，∴，设直线的解析式为，则，解方程组的：，∴直线的解析式为，当时，，∴．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．22.清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；（2）已知芝麻青团每盒的售价不高于65元，表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位；元），芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元；（2）芝麻青团每盒售价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元．【解析】【分析】（1）设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同列出分式方程，解方程即可；（2）由题意得，当时，每天可售出100盒，设芝麻青团每盒售价x元，则每天可售盒，列出每天销售芝麻青团的利润W与芝麻青团每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【小问1详解】解：设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的根，此时，答：芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元；【小问2详解】解：设芝麻青团每盒售价x元，根据题意得：，∵，∴当时，W随x的增大而增大，∵，∴当时，W有最大值，最大值为，∴芝麻青团每盒售价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售芝麻青团的利润W与芝麻青团每盒售价x的函数关系式．23.如图，等腰，，分别以，为边长在同侧作等边和等边，与相交于点，连接，．（1）求证：；（2）求证：；（3）已知，求线段的长．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可证，从而可证，即可得证；（2）可证，由此可证，从而得证，即可得证；（3）延长交于，可求，，进而可求，即可求解．【小问1详解】证明：和都是等边三角形，，，，，，在与中，，()，．【小问2详解】证明：是等边三角形，，，在腰中：，在与中，，()，，即：，由（1）得：，，，又，，，即，又，．【小问3详解】解：如图，延长交于，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，，，又，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等三角形的性质，“三线合一”，勾股定理，的判定性质，特殊角的三角函数值，掌握三角形中的相关判定方法及性质是解题的关键．24.如图，抛物线过点，，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点M是