江苏省苏州市2022-2023学年九年级数学上学期12月期末摸底调研题

2022－2023学年第一学期九年级12月期末摸底调研数学学科（总分：130分；考试时长：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分）（2022·江苏南京·九年级期末）1.方程x2＝4的根为()A.x1＝x2＝2 B.x1＝2，x2＝－2C.x1＝x2＝ D.x1＝，x2＝－【答案】B【解析】【分析】根据平方根的概念，求值即可；【详解】解：x2＝4，则x1＝2，x2＝－2，故选：B．【点睛】本题考查了直接开平方求一元二次方程的解，掌握正数的平方根有两个且互为相反数是解题关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）2.sin60°的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行回答即可．【详解】解：sin60°=，故选：B．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）3.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A.144（1﹣x）2=100 B.100（1﹣x）2=144 C.144（1+x）2=100 D.100（1+x）2=144【答案】D【解析】【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2013年产量等量关系是解决本题的关键．（2021·江苏苏州·九年级期末）4.如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可．【详解】连结BC，设扇形的圆心为A点，∵∠BAC=90°，∴BC为直径，∴BC=4，在Rt△BAC中，由AB=AC，由勾股定理AB=AC=，∴S扇形BAC=．故选择：C．【点睛】本题考查圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积公式，利用90°的扇形构造等腰直角三角形是解题关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）5.在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键．（2022·江苏南通·九年级期末）6.点A（m，y1），B（n，y2）均在抛物线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是（）A.y1+y2＝0 B.y1﹣y2＝0 C.y1﹣y2＜0 D.y1﹣y2＞0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】解：y＝（x﹣h）2+7抛物线的开口向上，对称轴为x=h，|m﹣h|＞|n﹣h|，点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，y1＞y2，y1＞y2，y1﹣y2＞0．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于二次函数图像上的点与对称轴的距离大小关系确定确定函数值的大小关系．（2021·江苏苏州·九年级期末）7.如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】过D作DF//BC，利用角平分线和平行线可证AE=DE，DF=BF，可证△DEF∽△CAB，利用相似三角形的比例关系和勾股定理可得DE的长度．【详解】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB=10，过D作DF//BC，∵DF//BC，∴∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD，∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠DBF=∠CBD，∴∠FDB=∠DBF，∴DF=BF，同理可证AE=DE，∠CAB=∠DEF，∴△DEF∽△CAB，∴∠EDF=∠C=90°，，即，∴设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理EF=5x，∵AE+EF+BF=AB=10，∴3x+4x+5x=10,解得3x=，即DE=．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）8.如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC＋PE＝PA＋PE，推出当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE＋PC的最小值，PD的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，∴易证AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴PA＝PC，∴PC＋PE＝PA＋PE，∴当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，AE＝，∴PC＋PE的最小值为，∴点H的纵坐标a＝，∵BC∥AD，∴，∵BD＝，∴PD＝，∴点H的横坐标b＝，∴a＋b＝；故选：C．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．第II卷（非选择题）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）（2022·江苏南京·九年级期末）9.若，则的值为___．【答案】【解析】【分析】设b=5k，a=3k，代入求值即可；【详解】解：设b=5k，a=3k，则==，故答案为：；【点睛】本题考查了分式的求值，掌握分式的性质是解题关键．（2021·江苏苏州·九年级期末）10.如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______．【答案】【解析】【分析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD的面积得到概率．【详解】解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF的面积，设正方形ABCD的边长是，则，∵F是BC中点，∴，∴，概率是．故答案是：．【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握概率求解的方法．（2021·江苏苏州·九年级期末）11.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△＝（−1）2−4×1×（k−1）≥0，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）12.已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________【答案】##平方厘米【解析】【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是；故答案为：．（2020·江苏无锡·九年级期末）13.如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．作于点，根据题目条件得出、、，再分别求出、、的长，从而得出答案．【详解】解：如图所示，过点作于点，由题意知，，，则，，在中，，，在中，，，故答案为：．（2020·江苏无锡·九年级期末）14.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB、CD相交于点E，则的值为________【答案】##【解析】【分析】本题考查网格中的三角函数．过点作，连接，得到，进行求解即可．【详解】解：过点作，连接，则：，由勾股定理，得：，∴，∴为直角三角形，∴；故答案为：．（2022·江苏南通·九年级期末）15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．【答案】##【解析】【分析】过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，由于四边形OABC是矩形，且点B和点B′关于直线MN对称．且点B′正好落在边OC上，可得△MB′Q∽△B′NC，然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出B′C和QB′的长，然后利用勾股定理求出MB′的长，进而求出OC的长．【详解】解：过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，如图所示：∵反比例函数（x＞0）的图象过点M（1，2），∴k＝1×2＝2，∴y＝，设N（a，），则B（a，2），又∵点B和点B′关于直线MN对称，∴MB＝MB′，∠B＝∠MB′N＝90°，∵∠MQB′＝∠B′CN＝90°，∠MB′Q+∠NB′C＝90°又∵∠NB′C+∠B′NC＝90°，∴∠MB′Q＝∠B′NC，∴△MB′Q∽△B′NC，∴，即＝＝，解得：B′C＝，QB′＝1，，∴，∵OQ＝1，∴a﹣1＝，∴OC＝a＝．故答案为：．【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，作出辅助线构造相似是解题关键．（2021·江苏无锡·九年级期末）16.如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________．【答案】【解析】【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答．【详解】解：连接OP，OM，∵PM、PN相切于点M、N，∴，，∴，又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径，∴，∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，延长DC交直线AE于点G，∵E是BC的中点，BC=6，∴BE=EC=3,∵在矩形ABCD中，，∴，∵在矩形ABCD中，，∴，∴，∴EG=5，CG=3，∴OG=OC+CG=2+4=6，又∵OP垂直AC时，最大，∴，在Rt△PMO中，，故答案为．【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大．三、解答题（共11小题，满分82分）（2020·江苏无锡·九年级期末）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据负指数幂、零指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．【小问1详解】；【小问2详解】．（2021·江苏苏州·九年级期末）18.解方程：．【答案】【解析】【分析】先移项，再把方程的左边分解因式化为：再解方程即可.【详解】解：或解得：【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握把一元二次方程化为：的形式是解题的关键.（2020·江苏苏州·九年级期末）19.如图示，在中，，，，求的面积.【答案】【解析】【分析】首先过点作，然后在中，利用锐角三角函数解出，，再在中得出，进而得出AB，即可得出△ABC的面积.【详解】过点作，垂足在中，，，∴，在中，，∴∴∴【点睛】此题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握，即可解题.（2020·江苏无锡·九年级期末）20.计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数【答案】（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．【解析】【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．【详解】（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷＝200（人）；选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：200、72；（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．（3）1500×＝1050（人），答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（2021·江苏无锡·九年级期末）21.在一个不透明的布袋里装有3个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字为1、2、3（1）随机从布袋中一次摸出两个乒乓球，写出两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是_________；（2）随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，请用列表或画树状图的方法求出两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用列举法展示所有可能的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个乒乓球上的数字之和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）可能出现的结果有：，，，共3种，两个数字都是奇数的只有一种，∴两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是，故答案为：；（1）画树状图如下：一共有9种可能的结果，其中大于或等于4的有6种，∴两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．（2021·江苏苏州·九年级期末）22.某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？【答案】这名顾客买了20双鞋．【解析】【详解】设这位顾客买了x双运动鞋，由题意得：解得：∵单价不能低于150元，∴∴x≤25，∴x=20答：这位顾客买了20双运动鞋.（2020·江苏苏州·九年级期末）23.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？【答案】（1）m＜0；（2）向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；（2）先将函数y＝mx2+2mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx2．【详解】（1）∵关于x一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0没有实数根，∴，解得，m＜0，即m的取值范围是m＜0；（2）∵函数y＝mx2+2mx+m﹣4＝m(x+1)2﹣4，∴函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx2的图象．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式、一元二次方程的性质以及图象是解题的关键．（2020·江苏苏州·九年级期末）24.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号).【答案】灯塔C与码头B之间的距离为海里.【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．【详解】过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题可知AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确求得BD＝海里是解决本题的关键．（2020·江苏苏州·九年级期末）25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F.(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CF＝8，DF＝4，求⊙O半径和AC的长.【答案】（1）相切，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接OD，OE，证明△OBE≌△ODE，得到∠ODE＝∠OBE＝90°即OD⊥DE，从而得出结论；（2）首先设⊙O半径为x，运用勾股定理得到方程，解方程可得圆的半径；证明△FBE∽△FDO，得出BE＝，由点E是AB中点，得出AB的长，再由勾股定理得出AC的长．【详解】(1)相切证明：连接OD，OE∵点E是AB中点，点O是BC中点∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE∴∠ODE＝∠OBE＝90o∴OD⊥DE，∴直线DF与⊙O相切.(2)设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8－x在Rt△FOD中，，∴，∴x＝3∴⊙O半径为3∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，∴△FBE∽△FDO，∴，∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝，∵点E是AB中点，∴AB＝2BE＝3在Rt△ABC中，AC＝＝【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和切线的判定等知识，得出BE的长是解题关键．（2020·江苏无锡·九年级期末）26.如图，在矩形中，，，，P为上一个动点，以P为圆心，长半径作，交、、交于、、（任意两点不重合）．（1）半径的长度范围为________；（2）如图1，连接并延长交于，若，求；（3）连接，将劣弧沿着翻折交于点，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出答案；（2）和是对顶角，得到，得出的值，再根据，求出的值，进而可求出的值；（3）设圆的半径，利用三角函数表示出，的值，看用面积法求出，在中由勾股定理得出的值，进而可求出的值即可得出答案．【小