辽宁省铁岭市昌图县2022-2023学年九年级上学期阶段练习数学试题三

2022-2023年中学生能力训练数学阶段练习（三）时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题3分，共30分）1.反比例函数y＝﹣的图象在坐标系的（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质即可求解．【详解】∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限．故选B．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键．2.下列图形中，主视图为①的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．详解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项正确；C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D、主视图是三角形，故此选项错误；故选B．点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．3.如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A.∠1=∠C B.∠A=∠C C.∠2=∠B D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由图得：∠A=∠A，∴当∠B=∠2或∠C=∠1或AE：AB=AD：AC时，△ABC与△ADE相似；也可AE：AD=AC：AB．B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．故选B．考点：相似三角形的判定．4.双曲线上两点为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的增减性，即可进行解答．【详解】解：∵，，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数，当时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．5.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A.BC=3DE B. C.△ADE～△ABC D.S△ADE=S△ABC【答案】D【解析】【详解】解：∵BD=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴=，∴BC=3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴，B结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC，C结论正确；∵DE∥BC，AB=3AD，∴S△ADE=S△ABC，D结论错误，故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理是本题的解题关键．6.在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题可先由反比例函数图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．【详解】解：A、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．B、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．7.如图，函数与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．【详解】∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2．又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2．∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=AC=5，∵EO⊥AC，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴，即，解得，AE=，∴DE=8﹣=，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．9.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为m，桌面离地面1m．若灯泡离地面3m，则地面上阴影部分的面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质求出，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，，，，∴，∴，即，∴，则地面上阴影部分的面积，故选：B．10.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A.18 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7.∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12﹣=.∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=.故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.二、填空题：（每小题3分，共24）11.下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有________个．【答案】4【解析】【分析】根据主视图和左视图的定义结合题中的几何体进行分析判断即可．【详解】解：正方体的“主视图”和“左视图”都是正方形；球体的“主视图”和“左视图”都是圆；圆锥的“主视图”和“左视图”都是等腰三角形；圆柱的“主视图”和“左视图”都是长方形；综上所述，题中4个几何体的“主视图”和“左视图”都是相同的．故答案为：4．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．12.从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___．【答案】．【解析】【详解】试题分析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．13.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，确定关于k的不等式，求解即可．【详解】解：由题意，得，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式定理，由判别式定理建立不等式是解题的关键．14.点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】先根据反比例函数中判断出函数图像所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．详解】解：∵反比例函数中，∴函数图像位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵，，∴点、位于第二象限，∵，∴．∵，∴点位于第四象限，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，熟记“当时，函数图像位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大”是解本题的关键．．15.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长___．【答案】10．【解析】【分析】先证明，根据已知条件计算即可；【详解】∵DE∥BC，∴，∵，∴，∴，∵，DE=6，∴，∴．故答案是10．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，准确计算是解题的关键．16.在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为______________________________．【答案】（4，6）或（﹣4，﹣6）．【解析】【详解】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.17.如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为_____．【答案】8【解析】【分析】过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，由矩形的性质可知：S△AOC=S矩形OABC=16，从而可求出△ODE的面积，利用反比例函数中k的几何意义即可求出k的值．【详解】过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，

由矩形的性质可知：S△AOC=S矩形OABC=16，又∵ED是△ACO的中位线，

∴ED=CO∴S△ODE=S△ACO=4，∴|k|=4，∵k＞0，∴k=8，

故答案为8【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出△ODE的面积．18.如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．【答案】1【解析】【详解】试题解析：连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∴CO⊥AB则∵∴∠DAO=∠COE，又∵∴△AOD∽△OCE，∴∴∵点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，∴∴即∴又∵∴故答案为1．点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）19.有三张正面分别标有数字，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；（2）求两次抽取卡片上的数字之和为非负数的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得；（2）根据（1）中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得．【小问1详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中数字之积为负数的有4种结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为；【小问2详解】在（1）种所列9种等可能结果中，数字之和为非负数的有6种，两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点C，与y轴交于点B，的面积是6.（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当时，比较与的大小.【答案】（1），；（2）当或时，，当时，，当或时，.【解析】【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数的表达式；根据△AOB的面积求出OB的长，进而得到点B的坐标，利用待定系数法即可得到一次函数的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，然后根据数形结合的思想的即可解答本题．【详解】解：（1）将点代入中，得，∴反比例函数的表达式为，∵，∴，即.将，，代入中，得，解得，∴一次函数的表达式为.（2）由，解得或，∴点C的坐标为）.∴当或时，，当时，，当或时，．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．四、解答题（每题12分，共24分）21.如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方，高傲而明亮．王刚同学拿起一根长的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，点竖起竹竿（表示），这时他量了一下竹竿的影长正好是，他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度（即）到点，他又竖起竹竿（表示），这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即），此时，王刚同学抬头若有所思地说道：“噢，原来路灯有高呀”．你觉得王刚同学的判断对吗？若对，请给出解答，若不对，请说明理由．【答案】正确的，理由见解析.【解析】【分析】先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D=45°，证明，根据相似三角形的性质得到，设米，米，得到①，②，联立即可求出的值，即路灯的高度.【详解】解：王刚的判断是正确的，理由如下：如图，，是竹竿两次的位置，和是两次影子的长．由于（米），即，所以，灯高，在与中，∵，，∴，∴即，设米，米则：①，②，联立①②两式得：，，∴路灯有米长，王刚的判断是正确的．【点睛】属于中心投影的题目，可以利用相似三角形的判定与性质进行求解.22.驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．（1）求出血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为和下降阶段的函数解析式．（并写出x的取值范围）（2）问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？【答案】（1），（2）血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用：（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求分别求出时和时x的值即可得到答案．【小问1详解】解：当时，设直线解析式为：，将代入得：，解得：，∴直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，解得：，∴反比例函数解析式为：；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．【小问2详解】解：当，则，解得：，当，则，解得：，∵（小时），∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时．五、解答题（12分）23.如图，在四边形中，，，过点D作，垂足为E，并延长至F，使，连接、、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，证明，得出，根据，，得出，，进而得出，，即可求证四边形是平行四边形；（2）根据，得出，即可得出，则，求出，根据，得出，即可求出四边形是矩形．小问1详解】证明：连接，如图所示：在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】证明：∵，，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可得：，，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应角相等，有一个角为直角是平行四边形是矩形．六、解答题（12分）24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．【详解】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=3，OC=2，∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，∴点E坐标为：（，1），设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E（，1）代入得：k=，∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．考点：反比例函数综合题．七、解答题（本题12分）25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为_______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；（2）如下图，连接PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CEQ；（3）根据相似三角形的性质可得，把BP=2，CQ=代入上式可求得BE=CE，进而求得BC的长．【详解】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠