机械控制工程基础-第6章-系统的稳定性

第六章系统的稳定性定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身能在有限的时间内、以足够的精度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。第六章系统的稳定性第六章系统的稳定性第六章系统的稳定性第六章系统的稳定性6.1劳斯(Routh)稳定判据

设线性系统的特征方程为：

由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为零），则系统为不稳定系统。即可确定系统是不稳定的第六章系统的稳定性劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数

？第六章系统的稳定性

判定控制系统的稳定性[例]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。[解]：排列劳斯阵如下：

，但劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。第六章系统的稳定性(3)特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：说明：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；[例]：系统的特征方程为：-130（2）100（）劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面，有两个正实根。劳斯判据特殊情况第六章系统的稳定性劳斯判据特殊情况

劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。[例]：第六章系统的稳定性

劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。劳斯判据特殊情况例如:[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。第六章系统的稳定性解.列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

10出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。25

0列辅助方程：

例

D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s±j)(s+1)(s+1±j2)=0有共轭虚根时表明：1、劳斯表中有全0行；2、据辅助方程可解出该共轭虚根?第六章系统的稳定性解.列劳斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00

-2

16/e0

8-2

0列辅助方程：

例5D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)第六章系统的稳定性(4)劳斯判据的应用

例6某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。解依题意有系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系

第六章系统的稳定性

分析系统参数变化对稳定性的影响

利用劳斯稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数。[例]已知某调速系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。[解]：闭环传递函数为：特征方程为：第六章系统的稳定性劳斯阵：要使系统稳定，必须①系数皆大于0，②劳斯阵第一列皆大于0所以，临界放大系数

不能确定系统的相对稳定性（稳定裕度）

利用劳斯稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。第六章系统的稳定性6.2Nyquist稳定判据1、根据系统开环传函，可知P值（在右半平面的开环极点个数）2、绘制开环乃氏曲线，判别当从-∞到+∞，开环乃氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的次数N

3、由公式Z=P-N,求Z，Z=0则系统稳定，否则不稳定第六章系统的稳定性一、乃奎斯特稳定性判据说明1、以前从0到+∞时，

GK(s)乃氏图，现需补画从-∞到0时，

GK(s)乃氏图。因两者关于实轴对称，则Z=P-N=P-2N’通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统第六章系统的稳定性奈氏判据：

第六章系统的稳定性2、GK(s)含有v个积分环节时，需补画0到0+部分，从乃氏图

=0+处补画90*v，半径无穷大的圆弧。判定N‘。第六章系统的稳定性[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。第六章系统的稳定性[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：N=0，而，故，闭环系统是稳定的。第六章系统的稳定性1.相角裕量

截止频率

c

：开环幅相曲线上，幅值为1的频率称为截止频率。即

|G(jwc)H(jwc)|=1。相角裕量

：=180+(

c)=

(c)-（-180）物理意义：若系统截止频率

c处的相位迟后再增加，系统处于临界稳定。ReIm若系统稳定，则：r>0第六章系统的稳定性2.幅值裕量Kg

或h相角交界频率

g：开环幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为相角交界频率。即argG(jwg)H(jwg)=-180o。幅值裕量Kg

：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为：物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。ReIm若系统稳定，则：Kg>1第六章系统的稳定性系统稳定截止频率

c

：

G(jwc)H(jwc)|=1，L(w)=0相角裕量

：=180+(

c)=

(c)-（-180）相角交界频率

g：argG(jwg)H(jwg)=-180o。幅值裕量Kg

：若系统稳定，则：Kg>1(K(dB)>0)，r>0。ReIm第六章系统的稳定性3、乃氏曲线和Bode图的对应关系L(

)=0K=1

c

g

g

cK20lgKBode图实轴增益为零，对应乃氏曲线是单位圆增益为1时的频率称穿越（剪切）频率相角=-180°时的频率称相角穿越频率对应点

c

g右上图系统

>0,Kg(dB)>0,闭环是稳定的由上述，相对稳定性是用两个参数来衡量的，也就是说，稳定性度大，必须两个参数都要大Kg(dB)

右下图系统闭环不稳定：

<0,Kg(dB)<0(A()>1，Kg(dB)=20lgKg =-20lgA()<0)

c

gGM

第六章系统的稳定性Kg(dB)>0系统稳定截止频率

c

：

G(jwc)H(jwc)|=1，L(w)=0相角裕量

：=180+(

c)=

(c)-（-180）相角交界频率

g：argG(jwg)H(jwg)=-180o。幅值裕量Kg

：若系统稳定，则：Kg>1(K(dB)>0)，r>0。第六章系统的稳定性课程小结

11、稳定性的概念

2、稳定的充要条件

3、稳定判据（1）判定稳定的必要条件

（2）劳斯判据（3）劳斯判据特殊情况的处理（4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围，但不知裕度）

系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半s平面

用劳斯表是判断整个系统的稳定性第六章系统的稳定性课程小结2用频域分析方法估算系统的动态性能实验测试稳定性稳定裕度闭环频率特征量奈氏判据对数判据第六章系统的稳定性课程回顾中频段三频段理论高频段低频段对应性能希望形状L(w)系统抗高频干扰的能力开环增益K系统型别v稳态误差

ess截止频率wc相角裕度g动态性能陡，高缓，宽低，陡频段三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向第六章系统的稳定性控制系统的性能指标（稳、准、快）过渡过程响应特性时域：上升时间tr、超调量Mp、调节时间ts频域：相位裕量

，幅值裕量Kg、谐振峰值Mr、 剪切频率ωc、谐振频率ωr、带宽ωb第六章系统的稳定性控制系统的性能指标（稳、准、快）稳态精度稳态误差essReImK增大：Wc增大，

减小稳定性变差；Wb增大，Wb*ts=定值，快速性变好。系统误差降低，