考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．已知A=，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1．则a=()A．3B．2C．1D．1或3正确答案：D解析：A是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式所以a=1或a=3时，均有r(A*)=1．因此应选D知识模块：矩阵2．设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于()A．aB．C．an-1D．an正确答案：C解析：对AA*=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜｜A*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜n由｜A｜=a≠0，可得｜A*｜=｜A｜=an-1．所以应选C．知识模块：矩阵3．设A和B都是n阶矩阵，则必有()A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B．AB=BAC．｜AB｜=｜BA｜D．(A+B)-1=A-1+B-1正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜A｜=BA｜，所以C正确．对于选项A，取B=-A，则｜A+｜B=0，而｜A｜+｜B｜不一定必为零，故A错误．对于选项B，由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确．对于选项D，因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D也不正确．所以应选C．知识模块：矩阵4．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及Aj5}与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项，所以应选D．知识模块：矩阵5．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则()A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r与r1的关系依C而定正确答案：C解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)．所以应选C．知识模块：矩阵6．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有()A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b或a+2b≠0．正确答案：C解析：根据矩阵A与其伴随矩阵A*秩的关系可知，r(A)=2，即A为降秩矩阵，从而故有a+2b=0或a=b．但当a=b时，r(A)=1．故必有a≠b且a+2b=0，所以应选C．知识模块：矩阵7．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，有知识模块：矩阵8．已知矩阵A=，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为()A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A～A=，那么只要和矩阵A有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似．(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于(3)和(4)，由可见(4)亦与A相似，而(3)与A不相似．所以应选C．知识模块：矩阵填空题9．设A=，则其逆矩阵A-1=________正确答案：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即知识模块：矩阵10．设A=，且r(A)=2，则k=_______正确答案：-2解析：对A作初等变换，因此r(A)=2时，故k=-2．知识模块：矩阵11．设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________正确答案：解析：因为AB=0，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0．而知识模块：矩阵12．已知n阶矩阵A=，则r(A2-A)=______正确答案：1解析：根据A2-A=A(A-E)，已知矩阵A=，A是可逆矩阵，因此r(A2-A)=r(A-E)，而r(A-E)=1，所以r(A2-A)=1．知识模块：矩阵13．设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位阵，则r(A)+r(A-E)=_______正确答案：n解析：由已知A2=A，则有A(A-E)=A2-A=A-A=O，所以r(A)+r(A-E)≤n又r(A-E)=r(E-A)，则r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，因此r(A)+r(A-E)=n．知识模块：矩阵14．已知A=，矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=______正确答案：解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜X｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E-2A)X=E，因此X=(｜A｜E-2A)-1已知｜A｜=4，所以知识模块：矩阵15．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，-1)T，α3=(-1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(-1，1)T，Aα3=(3，-4)T，则A=_____正确答案：解析：利用分块矩阵，得A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=，那么知识模块：矩阵16．设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B-2E)-1=________正确答案：解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E．从而知识模块：矩阵17．设A=，且A，B，X满足(E-B-1A)tBtX=E，则X-1=_______正确答案：解析：由(E-B-1A)TBTX=E，得[B(E-B-1A)]TX=E，即(BE-BB-1A)TX=E，也就是(B-A)TX=E，因此X-1=(B-A)T=知识模块：矩阵18．设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A-2E)=_______正确答案：3解析：矩阵A与B相似，则A-2E与B-2E相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3知识模块：矩阵19．设A是一个n阶矩阵，且A2-2A-8E=O，则r(4E-A)+r(2E+A)=__________正确答案：n解析：根据已知A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4E-A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E-A)+r(2E+A)=n．知识模块：矩阵20．设3阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=则B=______正确答案：解析：由题设可知，A可逆，已知A-1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A-1，则有A-1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E-A)B=6A，即B=6(E-A)-1A，且知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21．(1)设A=，求φ(A)=A10-5A9；(2)设A=，求φ(A)=A10-6A9+5A8正确答案：(1)A的特征多项式为解得A的特征值为λ1=1，λ2=5．对于λ1=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量对于λ2=5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量于是有正交矩阵P=，使得P-1AP=diag(1，5)=A，从而A=PAP-1，Ak=PAkP-1因此(2)A的特征多项式为A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=5．对于λ1=-1，解方程(A+E)x=0，得单位特征向量对于λ2=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量对于λ3=5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量于是有正交矩阵使得P-1AP=diag(-1，1，5)=A，A=PAP-1．因此φ(A)=Pφ(A)P-1=P(A10-6A9+5A8)P-1=P[A8(A-E)(A-5E)]P-1=Pdiag(1，1，58)diag(-2，0，4)diag(-6，-4，0)P-1=Pdiag(12，0，0)P-1涉及知识点：矩阵22．设A=，求一个4×2矩阵B，使AB=0，且r(B)=2．正确答案：方法一：r(B)=2，因此可设B=，由AB=O，即解此非齐次线性方程组，得唯一解故所求矩阵为B=方法二：设矩阵B按列分块B=(b1，b2)，由于r(B)=2，所以b1，b2线性无关．因为AB=O，即A(b1，b2)=O，得Ab1=O且Ab2=O，也就是b1，b2是方程Ax=0的解．又r(A)=2，则b1，b2是它的一个基础解系．涉及知识点：矩阵23．设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明正确答案：(1)当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜N-1≠0从而A*可逆，即r(A*)=n．(2)当r(A)=n-1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n-1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1．又因r(A)=n-1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知，AA*=O．因此根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n-1代入上式，得r(A*)≤1．综上所述，有r(A*)=1．(3)当r(A)≤n-2时，A的所有n-1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r(A*)=0．涉及知识点：矩阵24．设矩阵A=相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P-1AP=A．正确答案：A与A相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=-4，λ=y是A的特征值．因为λ=-4是A的特征值，所以有解得x=4．已知相似矩阵的行列式相同，于是由所以有-20y=-100，y=5．当λ=5时，解方程(A-5E)x=0，得两个线性无关的特征向量，将它们正交化、单位化得：当λ=-4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，单位化得：于是有正交矩阵使P-1AP=A．涉及知识点：矩阵25．已知A=，求可逆矩阵P，使P-1AP=A．正确答案：由得矩阵A的特征值λ1=λ2=3，λ=0．当λ=3时，有(3E-A)x=0，且得特征向量α1=(1，-2，0)T，α2=(0，0，1)T当λ=0时，有(0E-Ax)=0，且得特征向量α3=(-1，-1，1)T那么，令涉及知识点：矩阵设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．26．计算并化简PQ；正确答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A-1有涉及知识点：矩阵27．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αTA-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．涉及知识点：矩阵28．设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．正确答案：方法一：r(A)=r(αα