考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．[2018年]下列函数中，在x=0处不可导的是()．A．f(x)=∣x∣sin∣x∣B．f(x)=∣x∣sinC．f(x)=cos∣x∣D．f(x)=cos正确答案：D解析：利用导数定义及导数在一点存在的充要条件求之．对于(A)．f＇-(0)==0．f＇+(0)==0．因为f＇-(0)=f＇+(0)=0，故(A)可导．对于(B)．f＇-(0)==0．f＇-(0)==0．故(B)也可导．对于(C)，由于cos∣x∣=cosx，f(x)=cos∣x∣为偶正数，可得f＇-(0)=f＇+(0)，故(c)也可导．应用排除法，可知(D)不可导．实际上，由定义得f＇+(0)=f＇-(0)=因为f＇+(0)≠f＇-(0)，所以(D)不可导．知识模块：一元函数微分学2．[2007年]设函数f(x)在x=0处连续，下列命题中错误的是()．A．若存在，则f(0)=0B．若存在，则f(0)=0C．若存在，则f＇(0)存在D．若存在，则f＇(0)存在正确答案：D解析：利用命题1．2．1．1(1)确定正确选项．解一仅(D)入选．已知f(x)在x=0处连续，且．[f(x)／x]存在，由命题1．2．1．1(1)知f(0)=0，且f＇(0)=[f(x)／x]存在，因而(A)(C)正确．对于(B)，因f(x)在x=0处连续，故f(一x)在x=0处也连续，则f(0)=因存在，且=0，故f(0)=0，(B)也正确．解二举反例确定选项(D)是错误的．例如，令f(x)=∣x∣，则f(x)在x=0处连续，且=0存在，但f(x)=∣x∣在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学3．[2015年]设函数f(x)=(a＞0，β＞0)，若f＇(x)在x=0处连续，则()．A．α—β＞1B．0＜α—β≤1C．α—β＞2D．0＜α—β≤2正确答案：A解析：可直接利用命题1．2．1．5(3)③判别之．也可利用导数在x=0处连续的定义求之．解一由命题1．2．1．5(3)③可知，当α＞β+1即α一β＞1时，f＇(x)在x=0处连续．仅(A)入选．解二因，故当a—l＞0即a＞1时，f＇(0)存在，且f＇(0)=0；当x≠0时,f＇(x)=αxα-1cos+βxα-β-1sin为要使f＇(x)在x=0处连续，即f＇(x)=f＇(0)，必有a一1＞0，且α一β一1＞0，即α－β＞1．仅(A)入选．知识模块：一元函数微分学4．[2011年]已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=()．A．一2f＇(0)B．一f＇(0)C．f＇(0)D．0正确答案：B解析：将极限式分解，利用f(x)在x=0处可导的定义和f(0)=0即可求得结果．=f＇(0)一2f＇(0)=一f＇(0)．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学5．[2013年]设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=l确定，则=()．A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：先求出隐函数的导数，再用导数定义求出其极限值．在所给方程两边对z求导得到一(y+xy＇)sin(xy)+一1=0．注意到当x=0时，由所给方程可求得y=1，且由上式得到y＇(0)=1，于是=2×1=2．仅(A)入选．知识模块：一元函数微分学6．[2012年]设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f＇(0)=()．A．(一1)n-1(n一1)!B．(一1)n(n—1)!C．(－1)n-1n!D．(一1)nn!正确答案：A解析：利用导数的定义判别，因为f(x)为多个因子相乘，且f(0)=0．解一=(一1)(一2)…(1一n)=(一1)(－2)…[一(n一1)]=(一1)n-1(n一1)!．仅(A)入选．解二令g(x)=(e2x一2)(e3x一3)…(enx一n)，则f(x)=(ex一1)g(x)，f＇(x)=exg(x)+(ex一1)g＇(x)，f＇(0)=g(0)=(一1)(一2)(－3)…[－(n一1)]=(一1)n-1(n一1)!解三用排错法确定正确选项．为此令n=2，则f(x)=(ex一1)(e2x一2)，f＇(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)，f＇(0)=1—2=一1．因n=2时，(B)，(C)，(D)中的选项均为1，仅(A)入选．知识模块：一元函数微分学7．[2004年]设函数f(x)连续，且f＇(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(一δ，0)内单调减少C．对任意x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)D．对任意x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)正确答案：C解析：函数f(x)只在一点的导数大于零，不能推出单调性，可排除(A)，(B)．可用导数的定义及极限的保号性进一步分析讨论．由导数定义，有f＇(0)=＞0．又根据极限的保号性知，存在δ＞0，使当x∈(一δ，δ)且x≠0时，有＞0．因而当x∈(0，δ)时，x＞0，则f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)．当x∈(一δ，0)时，x＜0，则f(x)一f(0)＜0，即f(x)＜f(0)．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学8．[2017年]设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f＂(x)＞0，则()A．∫1-1f(x)dx＞0B．∫1-1f(x)dx＜0C．∫0-1f(x)dx＞∫10f(x)dxD．∫0-1f(x)dx＜∫10f(x)dx正确答案：B解析：结合题干和选项，可选取x∈(一1，0)和x∈(0，1)讨论，由于函数f(x)二阶可导，且f＂(x)＞0，可知f(x)在x∈(一1，1)内连续，故f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx．另一种方法是选取特殊函数进行求解．解一在x∈(0，1)内，记G(x)=，则G＇(x)=，而=f＇(ξ)，ξ∈(0，1)，所以G(x)在(0，1)内递增，G(x)＜G(1)，即f(x)＜2x一1，x∈(0，1),∫10f(x)dx＜∫10(2x—1)dx=0．同理，当x∈(一1，0)时，∫0-1f(z)dx＜0．故∫1-1f(x)dx=∫0-1f(x)dx+∫10f(x)dx＜0．仅(B)入选．解二取特殊函数法．选取符合题设条件的函数，f(x)=2x2一l，显然∫1-1f(x)dx＜0(见图1．2．1．1中阴影部分)．由图1．2．1．1还可知，∫0-1f(x)dx=∫10f(x)dx，排除(C)和(D)．知识模块：一元函数微分学9．[2000年]设f(x)在点x=a处可导，则函数∣f(x)∣在点x=a处不可导的充分条件是()．A．f(a)=0且f＇(a)=0B．f(a)=0且f＇(a)≠0C．f(a)＞0且f＇(a)＞0D．f(a)＜0且f(a)＜0正确答案：B解析：利用命题1．2．2．1(2)或用排错法判定之．解一由命题1．2．2．1(2)知，仅(B)入选．解二下面证选项(B)正确．因题设f(x)仅在点x=a处可导，下面用导数定义证之．设f(a)=0，f＇(a)≠0．不失一般性，设f＇(a)＞0，则由导数定义知f＇(a)=＞0．由极限的保号性得到在点x=a左侧，由于x－a＜0，有f(x)＜0；在点x=a右侧，由于x—a＞0，有f(x)＞0．令φ(x)=∣f(x)∣，则φ＇-(a)==一f＇(a)＜0，φ＇+(a)==f＇(a)＞0，而f＇(a)≠0，从而φ(x)在点x=a处不可导，即∣f(x)∣在点x=a处不可导．知识模块：一元函数微分学10．函数f(x)=(x2一x—2)∣x3－x∣不可导点的个数是()．A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：f(x)为含绝对值函数的函数可利用命题1．2．2．1～命题1．2．2．5求解．解一仅(B)入选．下用命题1．2．2．4求之．f(x)=(x一2)(x+1)∣x∣∣x—l∣．∣x+1∣，其不可导点只能在一1，0，1中选择．当x=一1时，设g(x)=(x一2)(x+1)∣x∣∣x一1∣，g(x)可导且g(一1)=0，因此可导．当x=0时，设g(x)=(x一2)(x+1)∣x—l∣，因为g(0)=一2≠0，所以不可导．当x=l时，设g(x)=(x一2)(x+1)∣x∣∣x+1∣，因为g(1)=一4≠0，所以不可导．解二令g(x)=x2一x一2=(x一2)(x+1)，φ(x)=x3一x=x(x+1)(x—1)．φ(x)的一次因式有h1(x)=x，h2(x)=x+1，h3(x)=x－1．而g(x)没有一次因式h1(x)=x，h3(x)=x—1．令h1(x)=x=0，h3(x)=x一1=0．知0，1为f(x)的不可导点．又因φ(x)有一次因式h2(x)=x+1，而g(x)也有．由命题1．2．2．5知，令h2(x)=x+1=0即x=一l为f(x)的可导的点．因而f(x)的不可导点的个数为2．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学11．[2005年]设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内()．A．处处可导B．恰有一个不可导点C．恰有两个不可导点D．至少有三个不可导点正确答案：C解析：先去绝对值求出f(x)的表达式，再根据具体表达式讨论其可导性．因只判断导数是否存在，也可借助函数的图形求解．解一当∣x∣＜1时，f(x)==1．当∣x∣=1时，f(x)==1．当∣x∣＞1时f(x)==∣x∣3，故f(x)=即f(x)=①显然当∣x∣＜1及∣x∣＞1时，f(x)均可导．在x=一1处，f＇-(一1)=一(x2一x+1)=一3，f＇+(一1)==0．因f＇-(一1)≠f＇+(一1)，由命题1．2．1．5(2)知，f(x)在x=一1处不可导．而在x=1处，f＇+(1)=(x2+x+1)=3，f-(1)==0，因f+(1)≠f-(1)，故f(x)在x=1处也不可导．除x=±1外，f(x)在(一∞，+∞)内处处可导．仅(C)入选．解二由解一中的式①易求出函数y=f(x)的图形如图1．2．2．1所示．由图1．2．2．1知f(x)在x=±1处不可导．事实上，x=±1为f(x)的图形上的尖点，其余各点f(x)均可导．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学12．[2006年]设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h＇(1)=1，g＇(1)=2，则g(1)=()．A．ln3一lB．一ln3—1C．一ln2—1D．ln2—1正确答案：C解析：先求出h＇(x)，将x=1代入解出g(1)．解一按题设h＇(x)=e1+g(x)g＇(x)，令x=1．得h＇(1)=e1+g(1)g＇(1)，即1=e1+g(1)·2，亦即1+g(1)=ln(1／2)，g(1)=一1一ln2．选(C)．解二先将所给方程变形为g(x)+l=lnh(x)，即g(x)=lnh(x)一1，再求导得到g＇(x)=h＇(x)／h(x)，将x=1代入得到g＇(1)=h＇(1)／h(1)，即h(1)=h＇(1)／g＇(1)=1／2．故g(1)=lnh(1)一1=ln(1／2)一1=一ln2—1．知识模块：一元函数微分学填空题13．[2009年]设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=_________.正确答案：利用隐函数求导的各种方法求之．解一将x=0代入所给方程易求得y=0．在所给方程两边对x求导得到y+xy＇+eyy＇=l，①即y＇=(1一y)／(x+ey)．将x=0，y=0代入易得到y＇∣x=0=1．再在式①两边对x求导，得到2y＇+xy＂+ey(y＇)2+eyy＂=0，即y”=一[2y＇+(y＇)2ey]／(x+ey)．将x=0，y=0及y＇∣x=0=l代入得到y＂∣x=0=一3．解二令F(x，y)=xy+ey一x一1，则F＇x=y一1，F＇y=x+ey，,将x=0，y=0，y＇=1代入上式，得到=一3．涉及知识点：一元函数微分学14．[2006年]设函数y=y(x)由方程y=1一xey确定，则=__________.正确答案：隐函数求导，有多种求法：方程两边直接求导，也可用隐函数导数的公式求之，还可用一阶微分形式不变性求之．解一由x=0得y(0)=1．将方程两边对x求导，得到y＇=一ey—xeyy＇，由x=0时，y=1．将其代入即得y＇(0)=一ey(0)=一e．解二令F(x，y)=y一1+xey，则=ey∣x=0,y=0=一e，=(1+xey)∣x=0,y=0=1，故=一e．解三在方程两边求微分得dy=一eydx一xeydy．代入x=0，y=l，得到=一e．涉及知识点：一元函数微分学15．[2012年]设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则=_________.正确答案：由隐函数求导法则求之．求解时应注意y是x的函数．当x=0时，由x2一y+1=ey得到ey=1一y，因而y=0．在所给方程两边对x求导，得到2x一y＇=eyy＇，即y＇(1+ey)=2x．①由x=0，y=0得到y＇∣x=0=0．在式①两边对x求导，得到y＂(1+ey)+y＇(0+eyy＇)=2．将x=0，y=0及y＇∣x=0=0代入上式，得到y＂x∣x=0·2+0·(0+ey·0)=2，即y＂x∣x=0=1．涉及知识点：一元函数微分学16．[2013年]设函数f(x)=dt，则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数=________.正确答案：利用函数与其反函数的导数关系求之，其中y0=f(x0)．因函数y=f(x)=dt，有f(一1)=dt=0，故x=一l时，y=0．由，而f＇(一1)=，故涉及知识点：一元函数微分学17．[2017年]设函数y=y(x)由参数方程确定，则=________.正确答案：求参数方程的二阶导数，可按参数方程的求导公式(1．2．3．1)和(1．2．3．2)计算，求其值时将t=0代入即可．涉及知识点：一元函数微分学18．[2015年]设则=_________.正确答案：可用复合函数和反函数求导法则求之：值得注意的是，求二阶导数时应在上式两端再对x求导，而上式右端都是t的函数，不能直接对x求导，可视t为中间变量，先对t求导，再对x求导．则=12t(1+t2)2∣t=1=12×1×4=48．涉及知识点：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。[2004年]设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上f(x)=x(x2一4)，若对任意x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．19．写出f(x)在[一2，0)上的表达式；正确答案：当一2≤x＜0时，有0≤x+2＜2，由f(x)=kf(x+2)可写出其表达式，再由f(x)在x=0处的左、右导数都存在且相等求出k．当一2≤x＜0即0≤x+2＜2时，有f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2一4]=kx(x+2)(x+4)．涉及知识点：一元函数微分学20．问k为何值时，f(x)在x=0处可导．正确答案：由题设知f(0)=0，有f＇+(0)==一4，f＇-(0)==8k．令f＇-(0)=f＇+(0)，得k=一1／2，即当k=一1／2时，f(x)在x=0处可导．涉及知识点：一元函数微分学21．[2000年]已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．正确答案：求切线方程的难点在于求f＇(1)．因题中只给出了函数f(x)在一点x=1处可导，这就决定了只能用导数定义求出f＇(1)．由题设有=0，因=0，由命题1．2．6．1及f(x)在x=0处连续，得到[f(1+sinx)一3f(1一sinx)－8x]=f(1)一3f(1)=0，即f(1)=0．因f(x)的周期为5，所以在点(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线的切线具有相同斜率，且f(1)=f(1+5)=f(6)，f＇(1)=f＇(1+5)=f＇(6)．因而只需求出f＇(1)．根据定义求之，由题设有{[f(1+sinx)一3f(1一sinx)]／(8x)}=1，则即f＇(1)=f＇(6)=2．又f(1)=f(6)=0，故在点(6，f(6))处的切线方程为y=2(x一6)，即2x—y一12=0．涉及知识点：一元函数微分学22．[2007年]已知函数f(u)具有二阶导数，且f＇(0)=l，函数y=y(x)由方程y一xey-1=1所确定．设z=f(lny—sinx)，求.正确答案：上例是求二元复合函数的导数．求时，需用到隐函数求导法则．由方程y—xey-1=1，得y(0)=1．两边求导，得到y＇一ey-1一xey-1y＇=0，即y＇=ey-1／(1一xey-1)．因而y＇(0)=1在上式两边对x求导，得到y＂一2ey-1y＇一x(