山东省济南市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)

--#-【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式以及性质的问题,需要先根据周期，代入最值求解解析式,进而代入单调区间与对称中心求解即可.属于中档题.12.一般地，若函数/(x)的定义域为［a9b］,值域为阿，科,则称口耳为“X)的4倍跟随区间”；特别地，若函数/(x)的定义域为［。力］,值域也为［〃力］,则称力］为/(X)的“跟随区间”.下列结论正确的是()A.若［1,可为/(x)=f—2x+2的跟随区间，则〃=3z3B.函数/(x)=2-二不存在跟随区间X］c.若函数/(x)=〃7—JTTT存在跟随区间，则机w-10D.二次函数/(力=一，/+%存在“3倍跟随区间”2【答案】BCD【解析】【分析】根据“k倍跟随区间”的定义，分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A,若［1,以为f(x)=f—2x+2的跟随区间，因为/%)=』-21+2在区间［1力］为增函数,故其值域为口力2-加+2］,根据题意有2〃+2=0,解得〃=1或/?=2,因为〃>1故〃=2.故A错误.对B,由题，因为函数“X)=2-二在区间(tc,0)与(O,*o)上均为增函数，故若a=2--/(x)=2—二存在跟随区间［。回则有《 ■即。力为2-^=工的两根.% b=2—— Xb即/一2工+3=0,无解.故不存在.故B正确.对C,若函数/(x)="lJ77T存在跟随区间几可，因为=— 为减函数，故由b=m->]a+\ ! i 跟随区间的定义可知， =。一/?=，。+1-。8+1,a<ba=m-y/h+\即（4一〃）（&+1+4+1）=（4+1）—e+1）=4—〃,因为4</?,所以J〃+l+，〃+l=1.跟随区间的定义可知，易得ow&TTv所以〃=〃?一，的=〃?一。一而7）,令/=而7代入化简可得/——〃?=0,同理，=。叱也满足Jt—〃?=o,即产――〃?=o在区间［。』上有两根不相等的实数根.1+4/77>0 （1-故〈c，解得用e-丁0，故C正确.-m>0 14」对D,若〃x）=—Jr+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为［。,可，值域为［3«3句.当a<b<\^,易得/（冷=一:/+%在区间上单调递增，此时易得a,。为方程—g/+x=3x的两根,求解得x=0或x=T.故存在定义域［T0］，使得值域为［-12,0］.故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题，需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.2.21°ss4_27^= 【答案】-5【解析】【分析】根据对数与指数的运算求解即可.【详解】31°的4一27?=4—。3尸=4一9=一5.故答案为：-5【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算，属于基础题..“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份,每一个等份是一个密位,那么120密位等于弧度.【答案】三【解析】

【分析】根据弧度的定义求解120密位占6000密位的比例再乘以2万即可.【详解】由题，120密位等于把x2/r=£6000 25故答案为：【点睛】本题主要考查了弧度的定义与计算，属于基础题..已知是定义在R上的奇函数，当xe[O,+s)时，J\x)=x2+2x,则〃T)=.【答案】-3【解析】试题分析：因为函数/*)是定义在R上的奇函数，当xe[O,+s)时，/(x)=/+2x,则/(-D=-/(1)=-(12+2x1)=-3.考点：函数奇偶性的应用.TOC\o"1-5"\h\z,、 -x2-2x+l,x<0 ,、.已知函数/(X)=j ，若方程f(X)=〃有四个不同的解内，々，七，心，且P°g().5斗% 。,// / 、 16司〈工2〈工3<*4，则。的最小值是 ,X4\X1+X2)+—y的最大值是 1工3,王【答案】 (1).1 (2).4【解析】【分析】画出/(%)=<-厂画出/(%)=<-厂—2x+1,xgO

Jlog05x|,x>0的图像,再数形结合分析参数的。的最小值,再根据对称性与/ \ 16函数的解析式判断内,々,与勺中的定量关系化简七,(司+占)+—r再求最值即可•X3X4【详解】画出/(X)=,—【详解】画出/(X)=,—x〜—2x+1,I*斗x>。的图像有:因为方程/(x)=。有四个不同的解$,々)3，七，故/("的图像与)'=4有四个不同的交点，又由图，〃。)=1,7(-1)=2故。的取值范围是［1,2),故a的最小值是1.又由图可知，、/=-1=1+占=-2,|1。80.5毛|=|1°80.5七|，故logg工3=Tog。'Z=log"X3X4=°,故X3X4T.TOC\o"1-5"\h\z/ 16 16故乙•（七+々）+——-=-2x4+—.士.芍 8又当4=1时，-logos%=1=七=2.当。=2时，Togo"。=2=七=4,故x4e［2,4).c16 「 、 c16又y=-2x4+-在七七［2,4)时为减函数，故当匕=2时丁=一2/+一取最大值X4 X4y=-2x2+—=4.• 2故答案为：(1).1 (2).4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题，需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..已知集合用={x|—1vx<4},N={x|x-6/>0}.⑴当“=1时，求McN,M；(2)若x£M是xeN的充分不必要条件,求实数。的取值范用.【答案】⑴McN={x|lvxv4},M~N=(a-|x>-1).(2)a<-\【解析】【分析】(1)代入a=1再求交集与并集即可.(2)根据题意有MgN,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】⑴因为”=1,所以％={小>1},所以有McN={x|l<x<4),MuN={上>-1}.(2)若xeM是xeN的充分不必要条件，则有MgN,所以。4一1.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据充分与必要条件求解参数的范围问题，属于基础题.(341.在平面直角坐标系宜办中，已知角。的终边与以原点为圆心的单位圆交于点尸.(1)请写出sina,cosa,tana的值；⑵若角方满足cos(a+p)=0.(i)计算tan/7的值；(ii)计算..；；24，月的值•sin2/7+snrp4 3 4 3 16【答案】(Dsine=—,cosa=一—，tane=一—.(2)(i)tan/7=——(ii)一一5 5 3 4 15【解析】【分析】(1)根据三角函数定义直接写出即可.(2)i.根据两角和的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.ii,根据1皿4=一；与同角三角函数的关系求解5山夕,(：054，再根据二倍角公式代入求解即4可.【详解】(1)由三角函数定义可知：. 4 3 4sina=—fcosa=--1tancr.5 5 3(2)(法一)

(i)由题意可知：cosacos/7-sinasinQ=0,即cosacosp=sinasinp,TOC\o"1-5"\h\z1 3所以有：tan/7= =一一.tana 4(ii)原式= ‘osB ._= 1 ._2sinpcosp+sin2p2tanJ3+tan2J316一一日(法二)(i)由题意可知：a+/7=1+Kr,攵eZ,所以tan'=tanjH-a|=cota=-!—=-—\2 ) tana4sin2p+cos2p=1原式=tanp=sinp3,原式=tanp=sinp3,可知，cosp4cos2p2sin/7cos/7+sin2P1625 __162419-15——2525【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数的关系式以及三角恒等变换公式计算等.属于中档题.19.已知函数f(x)=2sinxcosx+2-73cos2x-y/3.⑴求/(x)的最小正周期;■■⑵当XC0仁时，(i)求函数f(x)的单调递减区间;(ii)求函数/(工)的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量工的(ii)时，/(x)(ii)时，/(x)取最【答案】(1)最小正周期为兀(2)(i)单调递减区间为

大值为2,当x=]时，取最小值为—JJ.【解析】【分析】(D根据降案公式与辅助角公式化简得/(x)=2sin‘2x+g]再求解即可.——(2)(力求解可得1=2_¥+；62，考，再根据正弦函数的图像与单调区间求解即可.(ii)根据(i)中所得的单调区间求解最值即可.【详解】(1)由题意可知：f(x)=sin2x+\j3cos2x1.. y/3 J][2 2 ]=2sin(2x+g).因为丁=牛=冗，所以的最小正周期为兀.■ " 兀一兀47r-(2)(i)因为xw，所以Z=2x+q£—.―,7T4兀兀4兀 兀7T4兀2'3因为y=sinz,Z€—-的单调递减区间是2'3r.兀，3兀，4兀口兀，/兀且由彳W2x+；4丁，得2 3 3 12 2所以/(X)的单调递减区间为(ii)由(i)可知当(ii)由(i)可知当xe0*时，/(")单调递增,7T当代 时，“X)单调递减,1乙乙且/仁)=且/仁)=2si吟=2,/2sin-=-5^,/(0)=2sin—=\/3

3 3所以:当*=尚■时，/（'）取最大值为2,当x 时，“X）取最小值为-【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数问题，同时也考查了三角函数在区间内的单调性与最值问题，属于中档题.20.济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化、质量提升”为目标,通过开放平价汇聚创新要素,坚持绿色循环保障持续发展,建设现代绿色智慧新城.2021年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（目个），需另投人成本C（x）（万元），且10x2+200a\0<x<40C（x）={1OOOO ，由市场调研知，每个机器人售价6万元,且全年生产的60l.r+——-4500,*40X机器人当年能全部销售完.（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量％（自个）的函数关系式；（利润;销售额-成本）⑵该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区,并说明理由.‘一1Ox2+400x-2000,0<x<40⑵企业能落户新旧动能转换先行区.【答案】("(')=2500/+噢工北40⑵企业能落户新旧动能转换先行区.见解析【解析】【分析】⑴根据利润二销售额-成本,再分0<工<40与xNO两种情况分别求解即可.（2）在0<x<40区间内利用二次函数的最值求最大值，在xN40时利用基本不等式求最大值即可.【详解】（D当0<工<40时，L(x)=6x1OOx-1Of-200犬一2000=-1Of+4001一2000；

L(x)=6xl00x-601x-^^+4500-2000=2500«x \x-10x2+400x-2000,0<x<40所以L(x)=<-所以L(x)=<-iIloooo2500—।xh ,x>40(2)当0<x<40时,所以“工)=-10/+400工-2000=-10(工-20『+2000,所以当x=20时，L(x)nm=£(20)=2000；当工三40时，、 ( I。。。。、 I~10000所以L(x)=2500一卜+ 卜2500-2dx =2500-200=2300,当且仅当x=M竺，即x=100时，x所以L(x)心=£(100)=2300>2000.故该企业能落户新旧动能转换先行区.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与最值的求解,需要根据二次与基本不等式求最值,属于中档题./、 421.已知函数/(x)=l——■一(〃>0,且4W1),且/(1)=—,2a+a 3(1)求实数。的值；⑵判断函数/(X)的奇偶性并证明⑶若函数g(x)=4(x)T有零点,求实数&的取值范围.【答案】(1)2(2)奇函数.见解析(3)无V-1或>>1.【解析】【分析】(1)代入/(1)=:求解即可.7r_1(2)由⑴化简可得/(x)=土」，再分析/(-X)与/(x)的关系判定即可.4I1

2V+1(3)分析可知％=二二2r-l有实根,再换元令2V+1(3)分析可知％=二二2r-l范围进而求得左的取值范围即可.4_12a+a3解得。=2⑵/(x)是奇函数., 4由〃=2得：/(x)=lJ 22+22V-12X+1故2V-12X+1代入n=2可得/(x)=2V-12r+l因为g(x)=k・2r-l2V代入n=2可得/(x)=2V-12r+l因为g(x)=k・2r-l2V+11有零点，所以g(x)=H2r-l2V+11=0有实根.显然x=0不是g(x)=0的实根，所以％=2V-1设f=21〃")=二，rw(0,l)U(l,R).因为4«)=1t—\①当/£(0,1)时，7—1€(—1,0),所以所以〃(f)=l+11V-1②当/w(l,+oo)时,Z-1G(0,+O0),r-1所以力“)=1+一＞1r-1综上，〃(1)的值域为(-8,-1)U(1，“)所以，当女£(YO,-1)U(1，“)时，k=2”+1所以，当女£(YO,-1)U(1，“)时，k=2”+1—有实根,2V-1即g(x)=%2l-l2X+1-1有零点方法二:代入4=2方法二:代入4=2可得/(x)=2V-12l+l?r_i 2,]因为g(x)=k-L[T有零点，所以8(力=八有实根•所以("1)2]=/+1有实根.〃+1显然，k=1时上式不成立,所以2、=「有实根k-T因为2*>0,所以41>0k一1所以£<一1或女>1.L.1所以，当k€(73,_l)U(l,e)时，2V=—有实根.k—1即g(x)=k2―L—1有零点''2x+\【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及根据函数的零点个数求解参数的方法,需要根据题意参变分离,分析构造的函数的值域进而求得参数的范围.属于中档题.22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限;没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数箱运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果〃>0,且。w1,M>0,那么log"M”=〃log“M(〃eR)；lg3fle8\q\6]⑵请你运用上述对数运算性质计算广7% 的值；Ig4(lg91g27；(3)因为21°=1024£(103/04),所以21°的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192。20的位数.(注怆201933.305)17【答案】⑴见解析⑵》⑶？。国?。20的位数为6677【解析】【分析】(D根据指数与对数的转换证明即可.（2）根据对数的运算性质将真