1.2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．3．（3分）ChatGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话．初代GPT语言模型的参数是1.17亿个，而最新模型GPT4的真实参数超过1750亿，1750亿用科学记数法表示为（）A．1.75×108 B．0.175×109 C．1.75×1011 D．0.175×10124．（3分）下列计算中①（ab2）3＝ab5；②（3xy2）3＝9x3y6；③2x3•3x2＝6x5；④（﹣c）4÷（﹣c）2＝﹣c2正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（3分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜9 B．a＞9 C．a≥9 D．a≤96．（3分）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点M，作射线AM交BC于点F，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，交AB于点H．若∠B＝26°，则∠BHF的度数为（）A．100° B．106° C．110° D．120° 第7题图 第8题图8．（3分）如图，平行四边形AOBC中，BO＝2AO＝4，∠AOB＝60°，对角线AB，OC交于点P，将平行四边形AOBC绕点O顺时针旋转90°，旋转后点P的坐标为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为（）A． B． C． D． 第9题图 第10题图10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E是AB上一点，将菱形沿着EC折叠，使点B落在点F处，CF与AD交于点G，点H是EC的中点，，则FG的长为（）A． B． C． D．二、填空题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x3﹣4x＝．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0，如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程的常数项m，那么所得方程有实数根的概率是．13．（3分）如图，经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣3，﹣3），则关于x的不等式mx＜kx+b＜0的解集为．14．（3分）关于x的方程无解，则a＝．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，P、Q分别从C、A同时出发以相同的速度向点D运动，则AP+BQ的最小值为．三、解答题。（本大题共8题，共55分）16．（5分）计算：（1+）2+（2022﹣π）0﹣（）﹣1﹣|1﹣|．17．（6分）先化简：，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．18．（6分）解方程与不等式组：（1）x2+4x﹣1＝0； （2）．19．（6分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16； （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．（7分）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？21．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．22．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线l1：y＝2x﹣5是河岸，河在l1右侧，l1左侧的A（2，4）是一个河鲜冷藏仓库，B（0，1）是超市．（1）现计划在河岸l1上建立一座河鲜加工厂C，加工厂C从仓库A进货加工，再运输至超市B，请在图中找出加工厂C的位置，使进出货物的运输路径最短；（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由）（2）若河的两岸互相平行，河宽为．①在图中画出表示对面河岸的直线l2，并直接写出l2的解析式；②l2上有一点D，纵坐标为6，l2右侧有一点E（9，3），线段DE是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库A．请求出l2上的造桥位置F的坐标，以及支流DE上的打捞河鲜位置G的坐标，使运输路径最短．23．（10分）【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF＝45°．某同学进行如下探索：第一步：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBG，且F、C、G三点共线；第二步：证明△BEF≌△BGF；第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小关系，以及AE、CF、EF之间的数量关系；请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，将△ABP绕点B顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到△A'BP'，当P、A′、P′三点共线时，这三点所在直线与CD交于点Q，要求使用无刻度的直尺与圆规找到Q点位置，某同学做法如下：连接AC，与BP交于点O，以O为圆心，OB为半径画圆弧，与CD相交于一点，该点即为所求的点Q．请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）【拓展运用】如图3，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AD上，BP与AC交于点O，过点O作BP的垂线，交AB于点M，交CD于点N，设AP+AB＝x（2≤x≤4），AM＝y，直接写出y关于x的函数表达式．

2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．故选：C．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）ChatGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话．初代GPT语言模型的参数是1.17亿个，而最新模型GPT4的真实参数超过1750亿，1750亿用科学记数法表示为（）A．1.75×108 B．0.175×109 C．1.75×1011 D．0.175×1012【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：1750亿＝175000000000＝1.75×1011．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．4．（3分）下列计算中①（ab2）3＝ab5；②（3xy2）3＝9x3y6；③2x3•3x2＝6x5；④（﹣c）4÷（﹣c）2＝﹣c2正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用幂的运算法则逐一判断．【解答】解：①、由积的乘方和幂的乘方法则得，（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故①不正确；②、由积的乘方和幂的乘方法则得，（3xy2）3＝33x3（y2）3＝27x3y6，故②不正确；③、由单项式乘单项式得，2x3•3x2＝6x5；故③正确；④、由同底数幂的除法得，（﹣c）4÷（﹣c）2＝（﹣c）2＝c2，故④不正确．其中，正确的是③．故选：A．【点评】本题考查了幂的运算法则，比较基础．5．（3分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜9 B．a＞9 C．a≥9 D．a≤9【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x≤，解不等式②得：x≥3，∵不等式组无解，∴＜3，解得：a＜9，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．6．（3分）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④【分析】根据中位数定义，逐项判断．【解答】解：最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若这两个点分别落在区域①、②，则0～100km/h的加速时间的中位数将变小，故A不符合题意；若这两个点分别落在区域①、③，则两组数据的中位数可能均保持不变，故B符合题意；若这两个点分别落在区域①，④，则满电续航里程的中位数将变小，故C不符合题意；若这两个点分别落在区域③，④，则0～100km/h的加速时间的中位数将变大，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查数据的中位数，解题的关键是掌握中位数的概念：一组数据中，正中间的数或中间两个数的平均数是这种数据的中位数..7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点M，作射线AM交BC于点F，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，交AB于点H．若∠B＝26°，则∠BHF的度数为（）A．100° B．106° C．110° D．120°【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC＝64°，再利用基本作图得到AF平分∠BAC，AH＝AF，所以∠BAF＝∠BAC＝32°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AHF＝74°，然后利用平角的定义计算出∠BHF的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝26°，∴∠BAC＝64°，由作法得AF平分∠BAC，AH＝AF，∴∠BAF＝∠BAC＝×64°＝32°，∵AH＝AF，∴∠AHF＝∠AFH＝×（180°﹣32°）＝74°，∴∠BHF＝180°﹣∠AHF＝180°﹣74°＝106°．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．8．（3分）如图，平行四边形AOBC中，BO＝2AO＝4，∠AOB＝60°，对角线AB，OC交于点P，将平行四边形AOBC绕点O顺时针旋转90°，旋转后点P的坐标为（）A． B． C． D．【分析】过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F，结合平行四边形的性质及直角三角形的性质可求解EF＝BF＝BE，OE，AE的长，进而可求得EF的长及OF的长，利用PF＝AE可求解PF的长，即可求解P点坐标，进而求出旋转后的坐标．【解答】解：过A点作AE⊥x轴于点E，过P点作PF⊥x轴于点F，∴AE∥PF，在平行四边形ABCD中，AP＝BP，∠AOB＝60°，BO＝2AO＝4，∴EF＝BF＝BE，AO＝2，∴OE＝AO＝1，AE＝，∴PF＝AE＝，BE＝OB﹣OE＝4﹣1＝3，∴EF＝，∴OF＝OE+EF＝1+＝，∴P点坐标为（，），∴将平行四边形AOBC绕点O顺时针旋转90°，旋转后点P的坐标为（，）．故选：C．【点评】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，找规律，点的坐标的确定，求解P点坐标是解题的关键．9．（3分）如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为（）A． B． C． D．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE的长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：连接AD，AE，∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴AD＝BD＝，AE＝EC＝，∵DE＝2，∴，∴△ADE是直角三角形，∴∠ADE＝90°，由勾股定理可得：AC＝，故选：D．【点评】考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E是AB上一点，将菱形沿着EC折叠，使点B落在点F处，CF与AD交于点G，点H是EC的中点，，则FG的长为（）A． B． C． D．【分析】连接BH，过点H作BC的平行线交AB于点I，过点B作BJ⊥HI交HI延长线于点J，延长CE，DA交于点K，过点C作CL⊥AD于点L，利用翻折的性质和勾股定理求出EI＝BI＝2，然后证明△AEK≌△IEH（AAS），得AK＝IH＝3，证明GK＝GC，再利用勾股定理求出GC，进而即可解决问题．【解答】解：如图，连接BH，过点H作BC的平行线交AB于点I，过点B作BJ⊥HI交HI延长线于点J，延长CE，DA交于点K，过点C作CL⊥AD于点L，由翻折可知：FH＝BH＝，∵点H是EC的中点，HI∥BC，∴HI＝BC＝3，∠JIB＝60°，∴∠JBI＝30°，设IJ＝x，∴BJ＝IJ＝x，在Rt△BHJ中，HJ＝IJ+HI＝x+3，由勾股定理得：HJ2+BJ2＝BH2，∴（x+3）2+（x）2＝（）2，整理得2x2+3x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2.5（舍去负值），∴IJ＝1，∴BI＝2，∴EI＝BI＝2，∴AE＝AB﹣EI﹣BI＝2，∴AE＝EI，∵HI∥BC∥AD，∴∠AKE＝∠IHE，∵∠AEK＝∠HEI，∴△AEK≌△IEH（AAS），∴AK＝IH＝3，由翻折可知：∠BCE＝∠FCE，∵BC∥AD，∴∠CKG＝∠BCE，∴∠CKG＝∠GCE，∴GK＝GC，设GK＝GC＝y，∴AG＝GK﹣AK＝y﹣3，∵CL⊥AD，∠D＝60°，CD＝6，∴DL＝CD＝3，∴CL＝DL＝3，∴AL＝AD﹣DL＝6﹣3＝3，∴GL＝AL﹣AG＝3﹣（y﹣3）＝6﹣y，在Rt△GLC中，由勾股定理得：GL2+CL2＝GC2，∴（6﹣y）2+（3）2＝y2，∴，∴GC＝，∴FG＝FC﹣GC＝BC﹣GC＝6﹣＝．故选：D．【点评】本题属于四边形综合题，难度大，考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键正确作出辅助线构造全等三角形．二、填空题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0，如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程的常数项m，那么所得方程有实数根的概率是．【分析】把六个数字依次代入方程，由判别式判断出根的情况，然后根据概率公式求解．【解答】解：把1、2、3、4、5、6依次代入方程得：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x+3＝0，x2﹣4x+4＝0，x2﹣4x+5＝0，x2﹣4x+6＝0，（1）Δ＝16﹣4＝12＞0，方程有两个实数根；（2）Δ＝16﹣8＝8＞0，方程有两个实数根；（3）Δ＝16﹣12＝4＞0，方程有两个实数根；（4）Δ＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根；（5）Δ＝16﹣20＝﹣4＜0，方程没有实数根；（6）Δ＝16﹣24＝﹣8，方程没实数根；共有6种可能，方程有实数根的情况有4种，所以方程有实数根的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及概率公式，难度适中．13．（3分）如图，经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣3，﹣3），则关于x的不等式mx＜kx+b＜0的解集为﹣4＜x＜﹣3．【分析】关于x的不等式mx＜kx+b＜0的解集，就是图象在x轴的下边，且直线y＝kx+b的图象在y＝mx的图象的上边的部分，对应的自变量x的取值范围．【解答】解：根据图象可得关于x的不等式mx＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣3．故答案为：﹣4＜x＜﹣3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解解关于x的不等式mx＜kx+b＜0的解集，就是确定对应的自变量x的范围是关键．14．（3分）关于x的方程无解，则a＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：1﹣a+1＝2x﹣2，解得x＝，由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，∴＝1，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，P、Q分别从C、A同时出发以相同的速度向点D运动，则AP+BQ的最小值为17．【分析】如图，设CP＝AQ＝x，则有AP+BQ＝+，欲求AP+BQ的最小值，相当于在x轴上寻找一点M（x，0），使得点M到J（0，8），K（8，7）的距离和最小，如图1中，作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′，利用勾股定理求出KJ′可得结论．【解答】解：如图，设CP＝AQ＝x，∵四边形ABCD是矩形，∵AD＝BC＝7，∠D＝∠BAQ＝90°，∴AP+BQ＝+，欲求AP+BQ的最小值，相当于在x轴上寻找一点M（x，0），使得点M到J（0，8），K（8，7）的距离和最小，如图1中，作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′∵J′（0，﹣8），K（8，7），∴KJ′＝＝17，∵MJ+MK＝MJ′+MK≥KJ′＝17，∴MJ+MK的最小值为17，∴AP+BQ的最小值为17．故答案为：17．解法二：如图，延长BC到E，使得CE＝BA，连接AE，BE．∵AQ＝CP，∠BAQ＝∠OCE＝90°，AB＝CE，∴△ABQ≌△CEP（SAS），∴BQ＝CE，∴AP+BQ＝AP+PE≥AE，∵AE＝＝17，∴BQ+AP≥17，∴BQ+AP的最小值为17．【点评】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题。（本大题共8题，共55分）16．（5分）计算：（1+）2+（2022﹣π）0﹣（）﹣1﹣|1﹣|．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式及绝对值化简几个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1+2+3+1﹣﹣（﹣1）＝4+2+1﹣﹣+1＝6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．17．（6分）先化简：，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝，根据分式有意义的条件可知：m＝﹣1，∴原式＝【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．（6分）解方程与不等式组：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）．【分析】（1）利用配方法求出x的值即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：（1）移项得，x2+4x＝1，配方得，x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，解得：，；（2），解不等式①得x≤1．解不等式②得x＞﹣2，故不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．19．（6分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【分析】（1）根据分组分解法分解因式；（2）先把等式的左边分解因式，再判断三角形的形状．【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．20．（7分）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．根据一次函数即可解决问题；【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．由题意：＝×2，解得x＝120，经检验x＝120是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．m≤100﹣m，m≤50，由题意：w＝m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）＝﹣10m+6000，∵﹣10＜0，∴m＝50时，w有最小值＝5500（元）【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，∴OB＝＝3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，∴＝4．【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线l1：y＝2x﹣5是河岸，河在l1右侧，l1左侧的A（2，4）是一个河鲜冷藏仓库，B（0，1）是超市．（1）现计划在河岸l1上建立一座河鲜加工厂C，加工厂C从仓库A进货加工，再运输至超市B，请在图中找出加工厂C的位置，使进出货物的运输路径最短；（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由）（2）若河的两岸互相平行，河宽为．①在图中画出表示对面河岸的直线l2，并直接写出l2的解析式；②l2上有一点D，纵坐标为6，l2右侧有一点E（9，3），线段DE是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库A．请求出l2上的造桥位置F的坐标，以及支流DE上的打捞河鲜位置G的坐标，使运输路径最短．【分析】（1）取格点N（6，2），连接BN交直线l1于C，C即为所求的点；（2）①过N（6，2）作直线l1的平行线l2，直线l2即为对面河岸；用待定系数法可得l2的解析式为y＝2x﹣10；②结合①，过M作MG⊥DE于G，交直线l2于F，过F修桥，可满足题意．【解答】解：（1）取格点N（6，2），连接BN交直线l1于C，如图：C即为所求的点；（2）①过N（6，2）作直线l1的平行线l2，如图：直线l2即为对面河岸；设直线l2解析式为y＝2x+b，将（6，2）代入得：2＝12+b，解得b＝﹣10，∴l2的解析式为y＝2x﹣10；②如图：∵l2的解析式为y＝2x﹣10；D纵坐标为6，∴D（8，6），由（1）知AM⊥直线l1，且，又∵桥HF⊥l1，∴AM∥HF，AM＝HF，∴四边形AMFH是平行四边形，∴AH＝MF∴运输路径＝AH+HF+FG＝MF+FG+，∴当M、F、G共线且垂直于DE时，运输路径最短，由图知△NDE是等腰直角三角形，∴NE⊥DE，当F坐标为（7，4）时，NE∥MF，∴MF⊥DE，又∵ME＝MD＝5，由等腰三角形三线合一知点G为DE中点，∴；答：F（7，4），，能使运输路径最短．【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，平移变换，平行四边形等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．23．（10分）【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在C