ch3-行波法与积分变换法

chapter3行波法只适用波动方程的初值问题.积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于自变量为无限的情形，其主要思想：降维使用积分变换法的两个困难：1、选取哪一种积分变换2、逆变换难求行波法与积分变换法教学基本要求(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；(2)了解三维波动方程的泊松公式；(3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；积分变换法在解微分方程中的应用。难点：三维波动方程的泊松公式。积分变换法解微分方程。本章内容ssss3.2三维波动方程的泊松公式ssss3.3积分变换法举例一维波动方程的达朗贝尔公式ssss3.1ssss3.1一维波动方程的达朗贝尔公式chapter3五、行波法四、达朗贝尔解的物理意义三、达朗贝尔解的适定性二、达朗贝尔(D′Alembert)公式一、一维齐次波动方程的通解六、非齐次方程情形现在我们讨论无限长弦的自由横向振动。设弦的初始状态为，即定解问题“无限长”杆的自由横向振动，“无限长”理想传输线上的电流、电压的变化规律均提出与之相同的定解问题。一、一维齐次波动方程的通解利用复合函数微分法那么得:用行波法求解这一问题，首先求出的通解，其次再利用初始条件确定特解。可作如下代换:同理有:一、一维齐次波动方程的通解代入得:其中都是任意二次连续可微函数。一、一维齐次波动方程的通解通解(包含有两个任意函数的解)二、达朗贝尔(D′Alembert)公式利用初始条件来确定通解中的任意函数。将通解带入定解条件中，得:将上式代回到二、达朗贝尔(D′Alembert)公式这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔解.中，即得方程定解问题的特解:三、达朗贝尔解的适定性易于验证，只要(x)

有直到二阶的连续导数，(x)有一阶的连续导数，达朗贝尔解是满足定解问题的，即达朗贝尔解是存在的。又从求解的方法中看到，通解中的任意函数以由初始条件完全确定，故达朗贝尔解是唯一的。现在来证明达朗贝尔解的稳定性。

设初始条件有两组，且它们相差很小，即:即:那么由达朗贝尔公式三、达朗贝尔解的适定性有:所以在有限的时间内，当初始条件有微小改变时，其解也只有微小改变，即达朗贝尔解是稳定的。综上所述，达朗贝尔解是适定的.三、达朗贝尔解的适定性四、达朗贝尔解的物理意义定义右行波和左行波的叠加(相加)就给出弦的位移。即达朗贝尔解表示右行波和左行波的叠加。依赖区间表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波。表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波。决定区间影响区间四、达朗贝尔解的物理意义在区间[x1，x2]上给定初始条件，就可以在其决定区间域中决定初值问题的解。四、达朗贝尔解的物理意义由此可以看出，在x—t平面上斜率为的两族直线常数，对一维波动方程的研究起着重要的作用，我们称其为一维波动方程的特征线。四、达朗贝尔解的物理意义因为在特征线x-at=C2上，右行波u2=f2(x-at)的振幅取常数值f2(C2)；在特征线x+at=C1上，左行波u1=f1(x+at)的振幅取常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数Ci(i=1，2)的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征线传播的。变换常称为特征变换，行波法也称为特征线法。四、达朗贝尔解的物理意义注：容易看出,一维波动方程的两族特征线x

at=常数,正好是常微分方程(dx)2-a2(dt)2=0的积分曲线(解)。这个常微分方程称为波动方程的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程四、达朗贝尔解的物理意义它的特征方程为A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(1)的特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低阶项的系数是无关的。四、达朗贝尔解的物理意义并不是任意一个二阶线性偏微分方程(1)都有两族实的特征线。例如，假设在某一区域内B2-AC<0，那么过此域内每一点都不存在实的特征线；假设在某区域内，B2-AC=0，那么过此域内每一点仅有一条实的特征线；只有在B2-AC>0的区域内，过其中每一点才有两条相异实的特征线。四、达朗贝尔解的物理意义假设在某域内B2-AC<0，那么在此域内称(1)为椭圆型方程。拉普拉斯方程及泊松方程均属于椭圆型；假设在某域内B2-AC=0，那么在此域内称(1)为抛物型方程。热传导方程属于抛物型；假设在某域内B2-AC>0，那么在此域内称(1)为双曲线方程。波动方程属于双曲线型。特点:(1)求解出发点是基于波动现象的特点为背景的变量变换;(2)引入了坐标变换来简化方程;(3)优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便;(4)缺点:通解不易求，使之有局限性，一般只用它求解波动问题。五、行波法例题求以下柯西问题的解.它的两族积分线为:先确定所给方程的特征线。为此写出它的特征方程:例1解例题其中f1，f2都是任意二次连续可微函数。原方程的通解为:它的通解为:例题代入得:例题代入得到所求的解为:例题例2求方程的一般解。解：特征方程为特征曲线为例题所以，做变换那么原方程可以变为其中f1,f2是任意的二次连续可微函数。六、非齐次方程可以证明其解为：解：代入下式，例3求解下面初值问题：得ENDssss3.2三维波动方程的泊松公式chapter3三、泊松公式的物理意义二、三维波动方程的泊松公式一、三维波动方程的球对称解四、小结定解问题现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:其中M代表空间中任意一点,这个定解问题仍可用行波法来解，但由于坐标变量有三个，不能直接利用通解公式。下面先考虑一个特例。一、三维波动方程的球对称解球对称即u与θ,都无关。将波动函数u用空间球坐标(r,θ,)来表示.那么:而或这就是三维波动方程的关于原点为球对称的解，其中f1,f2是任意二次连续可微函数，这两个函数可以通过指定的初始条件来确定。所以最后得:一、三维波动方程的球对称解或这是关于ru的一维波动方程，其通解为:二、三维波动方程的泊松公式称之为函数u(M,t)

在以为中心,r为半径的球面上的平均值.其中为立体角元.很容易看出和我们所要求的有很紧密的联系:1.平均值法

引入函数:因此,欲求波动方程的解u(M，t)在任意一点M0任意时刻t0的值u(M0，t0)，只要先求u(M，t)在t0时刻，以M0为中心，r为半径的球面上的平均值，再令r0即可。二、三维波动方程的泊松公式这种处理问题的方法称为平均值法。这里各坐标变量之间的关系为:2、三维齐次波动方程的通解二、三维波动方程的泊松公式又因为在直角坐标系中:即类似的的有:二、三维波动方程的泊松公式二、三维波动方程的泊松公式其通解为:二、三维波动方程的泊松公式而可以证明或写成:二、三维波动方程的泊松公式上式称为三维波动方程的泊松公式，它给出了三维无界空间波动方程的初值问题的解。二、三维波动方程的泊松公式其中M´表示以M为中心at为半径的球面上的动点.三、泊松公式的物理意义泊松公式的物理意义很明显，它说明定解问题的解在M点t时刻之值，由以M为中心at为半径的球面上的初始值而确定.如图，设初始扰动限于空间某个区域T0，d为M点到T0的最近距离，D为M点与T0的最大距离，那么:1.当at<d，即t<d/a时，与T0不相交，

(M)和

(M)之值均不为零，因而两个积分之值亦均不为零，即u(M，t)=0。这表示扰动的前锋尚未到达。三、泊松公式的物理意义这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens)原理或无后效现象.3.当at>D，即t>D/a，与T0也不相交，因而同样u(M，t)=0，这表明扰动的阵尾已经过去了。2.当d<at<D，即d/a<t<D/a时，与T0相交，

(M),

(M)之值不为零，因而积分之值亦不为零，即u(M，t)

0，这表明扰动正在经过M点。三、泊松公式的物理意义由于在点(

，

，

)的初始扰动是向各方向传播的，在时间t它的影响是在以(

，

，

)为中心，at为半径的一个球面上，因此解称为球面波。事实上如果u与z无关，则，这时三维波动方程的始值问题就变成二维波动方程的始值问题：从三维波动方程的泊松公式我们也可以得到二维波动方程初值问题的解。三、泊松公式的物理意义要想从泊松公式得到上述问题解的表达式，就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分，下面以为例说明这个转化方法。三、泊松公式的物理意义其中S1，S2分别表示球面的上半球面与下半球面。把右端的曲面积分化成二重积分可得先将这个积分拆成两局部：由于被积函数不依赖于变量z，所以上式右端两个积分是相等的，即三、泊松公式的物理意义同理将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式，即得问题的解为三、泊松公式的物理意义，这种现象称为有后效。当时，由于圆域包含了区域T0，所以当时，当时，也就是说，在二维情形，局部范围内的初始扰动，具有长期的连续的后效特性，扰动有清晰的“前锋”，而无“阵尾”，这一点与球面波不同。三、泊松公式的物理意义在空间坐标系内表示母线平行与z轴的直圆柱面，所以在过(

,

)点平行于z轴的无限长的直线上的初始扰动，在时间t后的影响是在以该直线为轴，at为半径的圆柱面内，因此解称为柱面波。平面上以点(

,

)为中心的圆周的方程设,,求方程相应柯西问题的解.例题将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式，得到所要求的解为:例1解对于齐次偏微分方程，自由振动定解问题的解直接由达朗贝尔公式给出.四、小结ssss3.3积分变换法举例chapter3二、拉普拉斯变换法一、傅里叶变换法积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法.三、小结

积分变换—就是把某函数类A中的函数f(x)，经过某种可逆的积分手续:定义积分变换变成另一函数类B中的函数F(p)。F(p)—f(x)的像函数f(x)—像原函数k(x，p)是p和x的函数—积分变换的核.下面我们通过例题来说明用积分变换法解定解问题的一般步骤。

无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为F(x，t)的热源，杆的初始温度为

(x)，试求t>0

时杆上温度的分布规律。一、傅里叶变换法其中这个问题可归结为求解以下定解问题:例1解由于方程是非齐次的，且求解的区域又是无界的，因此用别离变量法来解将导致比较复杂的运算。对方程两端关于x分别进行傅氏变换，并记:一、傅里叶变换法现在我们用傅里叶变换来解.那么有:这是带参数

关于变量t的常微分方程的初值问题，解之得:一、傅里叶变换法对取傅里叶逆变换。查表可知:即得原定解问题的解.一、傅里叶变换法卷积性质由这个例子可以看出，用积分变换法解定解问题的步骤:1、对方程和定解条件(关于某个变量)取变换。2、解变换后得到的像函数的常微分方程的定解问题。3、求像函数的逆变换(反演)即得原定解问题的解。一个函数当它未作综合工作之前，用积分变换法所求的解都只是形式解。积分变换二、拉普拉斯变换法一条半无限长的杆，端点温度变化情况为，杆的初始温度为0℃，求杆上温度的分布规律。由于此题为半无界问题，因此不能用傅里叶变换来解。下面我们用拉普拉斯变换来解.这个问题可归结为求解以下定解问题:例2解对方程两边关于变量t做拉氏变换，并记:二、拉普拉斯变换法再对边界条件关于变量t做拉氏变换，并记:代入初始条件得:常微分方程的通解为:二、拉普拉斯变换法对U(x，p)求拉普拉斯逆变换，查表可知:由边界条件可得:微分性质卷积性质即所要求的解.二、拉普拉斯变换法应用积分变换法需要注意以下几点:1、选取恰当的积分变换首先要注意自变量的变化范围，其次要注意定解条件的形式。2、但凡对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件。3、求逆变换：查表并运用变换的性质；由逆变换公式来求，常常要用留数定理计算积分。积分变换

设有一长为l的均匀杆,其一端固定，另一端由静止状态开始受力的作用，力F的方向和杆的轴线一致，求杆作纵振动的规律.二、拉普拉斯变换法其中E为杨氏模量.由于杆作纵振动与弦作横振动的方程完全相同。因此这个问题可归结为求解以下定解问题:例3解对定解问题两边分别取关于t的拉普拉斯变换，得:二、拉普拉斯变换法求逆变换，即得原定解问题的解。二、拉普拉斯变换法记而二、拉普拉斯变换法即原方程所要求的解.