2020年高考数学一轮经典例题 曲线和方程 理（通用）

1、2020年高考数学(理)经典案例曲线和方程式典型范例1例1如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是(a)曲线上的点的坐标满足方程。(b)坐标满足方程的点在上面，部分不在上面。(c)坐标满足方程的点不在曲线上。(d)具有满足方程的坐标的曲线上必须有不存在的点。分析：原来的命题是错的。换句话说，坐标满足方程的点并不总是在曲线上。容易知道的答案是d。典型示例2示例2显示了通过点与轴平行的直线和方程表示的曲线之间的关系。分析：“曲线和方程”的定义中列出的两个条件构成了同一集的两个先决条件。其中一个是必需的。这里，“曲线上的点的坐标都是方程的解”，即纯粹性。“以方程的解为坐标的

2、点都是曲线上的点”，即完备性。这是判断方程式是指定曲线的方程式，还是曲线是给出方程式的曲线的标准。解决方案：直线通过点并平行于轴的方程(如下图所示)，因此直线上的点位于表达式所表示的曲线上。但是，以这个方程的解为坐标的点都不在直线上，所以方程不是直线的方程，直线只是方程表示的曲线的一部分。说明：这个问题的曲线上的所有点都满足方程式。也就是说，满足纯粹性，但使用方程解作为坐标的点都不在曲线上。也就是说，不满足于完整性。典型示例3示例3显示了从坐标轴到相等距离的点的轨迹和方程所表示的线之间的关系。分析：这个问题要把握“纯粹性”和“完整性”进行分析。解决方案：由方程表示的曲线上的每个点满足坐标轴距离

3、相等的要求。但是，“坐标轴距离相同点的轨迹”上的点不满足方程。例如，点到两个轴的距离为3，但不满足方程式。因此，方程式不能说是具有相同座标轴距离的所有点的轨迹方程式，也不能说是具有相同座标轴距离的点的轨迹也是方程式表示的轨迹。说明：在这个问题中，“以方程的解为坐标点，在曲线上”的话满足了完整性，“轨迹上的点的坐标不满足方程”的话不满足于纯粹性。如果这两者重合，方程就叫做曲线的方程，曲线就叫做方程的曲线。典型实例4范例4曲线和直线有两个不同的顶点，取得值的范围。有一个顶点吗？没有交点吗？分析：直线和曲线有两个交集、一个交集、无交集，即由直线和曲线的方程组成的方程，分别有两个解、一个解和无，即由两

4、个方程组成的一阶二次方程的解释，分别为满足、解决方案：由是的立即，直线和曲线有两个不同的交点。立即、立即、直线和曲线有交点。立即、立即、直线和曲线没有公共点。说明：在确定直线和曲线的交点数时，由直线和曲线的方程式构成的方程式解决方案的数量等于由两个方程式构成的一元方程式解决方案的数量，因此，典型实例5示例5如果有曲线和两个公共点，则精确值的范围。分析：通过将“曲线上有两个公共点”转换为“方程有两个不同的解”，研究一阶二次方程解的个数问题。将两条曲线的大致形状可视化，可以获得一些灵感。解法1:原因：和就是。上面的方程有两个不同的非负实根。以下是：又来了解决：实数的范围是。解决方案2:中的曲线是关

5、于轴对称以及顶点的折线，它们的斜率为1，通过点。在下图中，折线的右侧分支与直线不相交。因此，两条直线和折线的两条直线相交，因此两条直线可以具有两个不同顶点的两条曲线只有一个交点。说明：这类问题的更好的解决方法是利用两种，即数字结合方法进行探索。如果问题设置条件中的“”被替代，请让自己探索。典型示例6示例6是已知的。其中，是角度平分线的方程式，如下图所示。是吗？分析：这个问题主要调查曲线方程的概念获得和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段。解决方案：否，因为内部角度平分线是直线段，方程式图形是直线。点坐标适合表达式，但点不在内部角度的平分线上。合并上述内角平分线包括：说明：确定曲线的

6、方程或方程的曲线，为了抓住定义，两个条件必须是确定曲线的范围。典型示例7例7判断方程式表示的曲线。分析：根据方程的表面形态，很难判断方程的曲线形状，因此，首先必须使方程成为等效变形。解决方案：可以在原始表达式中使用。也就是说方程式中的曲线是两条射线，如图所示。说明：判断方程表示的曲线，简化变形方程时要注意等效变形。例如，方程式相同，即原始方程式中的曲线是抛物线的一部分。典型示例问题8如图8所示，已知两点，从移动点到点点的距离为4，直线段的垂直平分线交点确定点的轨迹方程。分析：这个问题首先要创建适当的笛卡尔坐标系。不能明确给出移动点满足的条件(等量关系)问题的设置。在问题的分析中要找出等量的关系

7、。连结面，即从移动点到两点，距离之和是常数。解法：两点的线为轴，两点的中点为座标原点，并设定直角座标系统两点坐标各不相同。链接。垂直平分线段，、.使用两点距离公式设定点而且，简化方程式以平方移动项目的两侧(移动项目).如果两边再平方，则：，所需的点轨道方程式。说明：分析问题的性质，找出点、两点、距离的总和作为常数，是解决这个问题的关键。简化过程方程也很重要，简化过程也确保了等价性。典型实例9示例9点是互垂的两条直线，并且相交轴位于上，则求直线段中点处的轨迹方程。oaxpyb图2m解决方案：连接，设置，设置，直角三角形。称为直角三角形性质也就是说缩写的轨迹方程如下说明：这个问题可以用毕达哥拉斯定

8、理解决，也可以用梯度关系解决，所以这个问题可以有三种解法。用斜率解决的过程有点麻烦。典型实例10范例10寻找具有两个固定点，满意(常数)的移动点的轨迹方程式。分析：根据查找曲线表达式的方法求解。解决方案1:在图a中，以两个点和的连接作为轴，通过中点，并与垂直线一起为轴创建坐标系。设置、示例：根据问题的意义，是的。是常数，因此移动点的轨迹方程，即移动点的轨迹是与轴平行的直线。解决方案2:在图b中，通过轴连接两点，通过点，垂直于垂直线的线在轴上创建坐标系。设置、示例：根据问题的意义，是的，移动点的轨迹方程是平行于轴的直线。解决方案3:图c设置坐标系。，根据问题的意义而且，整理后得到点的轨迹方程如下

9、：那是直线。说明：上述三种解决方案对于同一直线，从不同坐标系到基于不同坐标系的解决方案1、解决方案2等相应的生成坐标系具有简单的格式，明确的特性，一看就知道是直线。并且从解决方案3中得到的方程很麻烦，很长，在此基础上研究其他问题会引起不必要的问题。因此，在求解曲线表达式时，根据情况适当地选择坐标系很重要。另外，需要注意的是，这个问题需要寻找轨迹方程，在解析表达式时要强调曲线的方程，而不是曲线。典型实例11例11两条直线分别围绕点和()在平面上旋转，旋转时保持相互垂直，求出两条直线交点的轨迹方程。分析：建立适当的直角座标系统，并使用直角三角形的性质列示满足移动点的方程式。解法：将线设定为轴，使用

10、线段中点设定原点的直角座标系统时：，属于集合。设定，简化。这是两条线交点的轨迹方程式。说明：此问题很容易发生以下解决错误：使用直线作为轴，直线段的中点设置原点的正交坐标系时：，交点属于集合。好，那么，因此()。如果轴与其他直线重合，则两条直线将相互垂直。这两条直线相交。如果相同的轴重合，则其他直线和轴仍相互垂直。两条直线的交点是。因此，这是所需方程的解法。如果没有或的斜率，则立即，如果在曲线上，则所需点的轨迹方程式为。求出适合曲线上的点的方程后，只需调查形式上的曲线方程，以方程的解为坐标的点，不能去掉不适合的部分和满足条件的部分。典型实例12在示例12图中，两个直角边的长度为，两个点分别在轴的

11、正半轴和轴的正半轴上滑动，以找到直角顶点的轨迹方程。分析：已知垂直且两点在坐标轴上滑动时垂直；平面几何知识；如果四点是总圆形，则点满足的几何条件。在这种情况下，将列出顶点的坐标有效的表达式。解法：点的座标为、因为4点是总圆，所以是连接。是的，是的。方程式表示通过原点和倾斜的直线，主题的和在两个轴的正半轴上滑动，因为是常数，所以点的轨迹是直线的一部分，而不是直线。我们可以调查两点和轴的极端，以确定点坐标的范围。在下图中，当点与原点重合时，所以。下图显示了点与原点重合时点的横坐标。通过投影定理，即，是的，已知。因此，点的轨迹方程如下：()。说明：得到曲线上的点的合适方程后，只不过是形式上的曲线方程

12、，必须调查以方程的解为坐标的点，消除不合适的部分。典型实例13范例13交点寻找互垂的两条直线，如果有相交轴，则相交轴寻找线段，点的轨迹方程式。分析：例如，设置，问题的几何条件是，分析几何中表示垂直关系的代数关系的斜率乘积为-1，所以所需的轨迹方程是，之间的关系，首先是，的斜率为，而表示斜率的键是使用，表示，两点的坐标。问题是，的分数点可以知道，给定的分数坐标公式是，找出坐标之间的关系，表示两点的坐标，找出点的轨迹方程。解决方案：设置，在网上。馏分的比例是，好，我知道了，、另外倾斜，倾斜。哈哈简化：说明：上述解决这个问题的过程并不顺利。因为要有时间才能成立。当时，的方程式是。所以，可以求，也可以满足方程。所以求轨迹的方程是。这种问题在回答的时候要考虑完整性和纯粹性。典型实例14例14已知图、两点、直线、长直线段沿直线移动。求直线和交点的轨迹方程。分析1:设置，问题的几何条件是。所以，你只能用表达式，两点的坐标，找到曲线的方程。点坐标可以首先找到两个点的关系，很明显，它表示三个点的共线关系。因此，可以找到坐标之间的关系，像表示的坐标一样解决问题。解决方案1:设置，可用作三点共线： (与坡率相同)，可以在3点共线使用。还有原因。，简化和所需的轨迹方程如下：分析2:此问题还可以用三点共线表示点坐标，然后得到三点共线的追踪方程