高考数学二轮复习微专题强化练习题5导数及其应用

1、第一部分第一部分一一5 5 一、选择题 1(文)曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为() Ay3x1 Cy3x1 答案A 解析ky|x0(exxex2)|x03， 切线方程为 y3x1，故选 A. (理)(2014吉林市质检)若函数 f(x)2sinx(x0，)在点 P 处的切线平行于函数 g(x) x 2 x( 1)在点 Q 处的切线，则直线 PQ 的斜率() 3 A1 8 C.3 答案C 解析f(x)2cosx，x0，f(x)2,2，g(x) x 1 时，等号成立， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1 x2 x10， y2y1 88 x10，y1

2、0，x21，y2，kPQ . 3 x2x1 3 方法点拨1.导数的几何意义 函数 yf(x)在 xx0处的导数 f (x0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率， 即 kf (x0) 2求曲线 yf(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 yf(x)过点 P 的切线方程： 求出切线的斜率 f (x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，通过方程 kf (x0)解得 x0，再由点斜式写出方程； 11 ，2cosx12 且 x22， x2x2 1 2，当且仅当 x x 1 B.2 D.

3、 2 By3x1 Dy2x1 (3)已知切线上一点(非切点)，求 yf(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方 程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程 3若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系 确定切线的斜率，再由 kf (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程 4(1)在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上 (2)过点 Q 的切线即切线过点 Q，Q 不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q 作为切 点因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点P 是

4、否在已知曲线上 2已知 f(x)为定义在(，)上的可导函数，且 f(x)ef(0)，f(2012)e2012f(0) Bf(1)e2012f(0) Cf(1)ef(0)，f(2012)e2012f(0) Df(1)ef(0)，f(2012)F(0)，F(2012)F(0)， 即f1 f0 f2012 f0 ， 2012 0 ， e1e0ee f(1)ef(0)， f(2012)e2012f(0) 方法点拨1.函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，如果 f (x)0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增如果 f (x)0，f (x)0 或 f (x)0 时，xf(x)f(x)0 xx2

5、 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数 f(x)(xR R)是奇函数，故函数 g(x)是偶函数，所以 g(x)在(，0)上单调递减，且 g(1)g(1)0.当 00；当 x0 成立的 x 的取值范围是( ，1)(0,1)，故选 A. 方法点拨1.在研究函数的性质与图象， 方程与不等式的解， 不等式的证明等问题中， 根据解题的需要可以构造新的函数 g(x)，通过研究 g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原 问题是常用的方法如在讨论f (x)的符号时，若 f (x)的一部分为 h(x)，f (x)的符号由 h(x)所决定， 则可转化为研究 h(x)的极(最)值来解决，

6、 证明 f(x)g(x)时， 可构造函数 h(x)f(x) g(x)，转化为 h(x)的最小值问题等等 2应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常 见的解题思路有以下两种： (1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)， 然后求解 (2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决 3 有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决： 一是根与系数的关系与判别式， 二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理 4和函数与方程思想密切关联的知识点 函数 yf(x)，当 y0 时转化为不

7、等式 f(x)0. 数列是自变量为正整数的函数 B(1,0)(1，) D(0,1)(1，) 直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题 立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解 5注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别 6含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略： (1)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最小值g(x)在c，d上的最 大值 (2)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的最 小值 (3)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a

8、，b上的最小值g(x)在c，d上的 最小值 (4)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的 最大值 (5)x1a，b，当 x2c，d时，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域与 g(x)在c，d上 的值域交集非空 (6)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值 域 (7)x2c，d，x1a，b，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值 域 4(文)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如下 图所示，则该函数的图象是() 答案B

9、解析本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系 由导数的几何意义可得，yf(x)在1,0上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在0,1上 则逐渐变小，故选 B. (理)(2014石家庄市质检)定义在区间0,1上的函数 f(x)的图象如下图所示， 以 A(0， f(0)、 B(1，f(1)、C(x，f(x)为顶点的ABC 的面积记为函数 S(x)，则函数 S(x)的导函数 S(x)的 大致图象为() 答案D 解析A、B 为定点，|AB|为定值，ABC 的面积 S(x)随点 C 到直线 AB 的距离 d 而变化， 而 d 随 x 的变化情况为增大减小0增大减小， ABC 的面积先增大再减小， 当 A、B、

10、C 三点共线时，构不成三角形；然后ABC 的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小， 观察图象可知，选 D. 方法点拨1.由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于 x 轴上 方的部分对应 f(x)的增区间，下方部分对应 f(x)的减区间，与 x 轴的交点对应函数可能的极 值点，导函数的单调性决定函数f(x)增长的速度； 2由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依 次对应 f(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性 5已知常数 a、b、c 都是实数，f(x)ax3bx2cx34 的导函数为 f(x)，f(x)0 的解集为x|2x3，

11、若 f(x)的极小值等于115，则 a 的值是() 81 A22 C2 答案C 解析依题意得 f(x)3ax22bxc0 的解集是2，3，于是有3a0，23 2bc ，23， 3a3a 3a b，c18a，函数 f(x)在 x3 处取得极小值，于是有 f(3)27a9b3c34 2 81 115， a81，a2，故选 C. 2 二、解答题 6(文)已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横 坐标为2. (1)求 a； 1 B.3 D5 (2)证明：当 k0. 当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时，令 h(

12、x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x) h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0， 所以 g(x)0 在(0，)上没有实根 综上，g(x)在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点 (理)已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A 处的切 线斜率为1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值； (2)证明：当 x0 时，x2ex； (3)证明：对任意给定的正数c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 x22lnxl

13、nk 成立构造函数 h(x)x2lnxlnk 求解 c 解析(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa. 又 f(0)1a1，得 a2. 所以 f(x)ex2x，f(x)ex2. 令 f(x)0，得 xln2. 当 x0，f(x)单调递增； 所以当 xln2 时，f(x)有极小值 且极小值为 f(ln2)eln22ln22ln4， f(x)无极大值 (2)令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x. 由(1)得，g(x)f(x)f(ln2)2ln40，即 g(x)0. 所以 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)10， 所以当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x20 时 x20 时，x

14、2ce2，取 x0 0 当 x(x0，)时恒有 x2cex 1 若 0kx2成立， c 则只要 xln(kx2)，只要 x2lnxlnk 成立， 2 x2 令 h(x)x2lnxlnk，则 h(x)1 ，所以当 x2 时，h(x)0，h(x)在(2， xx )内单调递增 取 x016k16，所以 h(x)在(x0，)内单调递增 又 h(x0)16k2ln(16k)lnk8(kln2)3(klnk)5k 易知 klnk，kln2,5k0，所以 h(x0)0. 16 即存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 x20，x( ，0)时，f(x)0 时，x 33 2a2a ， ，(0，)上单调递增，在 ，

15、0上单调递减；所以函数 f(x)在 33 2a2a ，时，f(x)0，x0， 时，f(x)0， 当 a0， 2a4 3 等价于 f(0)f 3b27a b0，从而 4 a30， 27 4 或当 a0 时， a3ac0. 27 4 设 g(a) a3ac，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(，3) 27 a0， 或 4 3 . 00，右侧 f (x)0，则 f(x0)为极大值，反之 f(x0)为极小值，若在 xx0两侧 f (x)不变号，则 xx0 不是 f(x)的极值点 第五步，求f(x)的最值，比较各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大 值、最小的一个

16、为最小值 第六步，得出问题的结论 8济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状 况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比， 与到污染源的距 离成反比，比例常数为 k(k0)现已知相距 36km 的 A、B 两家化工厂(污染源)的污染强度分 别为正数 a、b，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之 和设 ACx(km) (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)若 a1 时，y 在 x6 处取得最小值，试求 b 的值 kakb 解析(1)设点 C 受 A 污染源污染指数为 ，点C 受 B 污染源污染指数为，

17、其中 x 36x k 为比例系数，且 k0. kakb 从而点 C 处污染指数 y (0x36) x 36x kkb (2)因为 a1，所以，y ， x 36x 1b yk 2 ， x 36x2 36 令 y0，得 x， 1 b 3636 当 x(0， )时，函数单调递减；当 x( ，)时，函数单调递增 1 b1 b 36 当 x时，函数取得最小值， 1 b 又此时 x6，解得 b25，经验证符合题意 所以，污染源 B 的污染强度 b 的值为 25. 方法点拨1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转 化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法 而最值问题的应用题

18、，写出目标函 数利用导数求最值是首选的方法， 若在函数的定义域内函数只有一个极值点， 该极值点即为 函数的最值点 2利用导数解决优化问题的步骤 审题，设未知数； 结合题意列出函数关系式；确定函数的定义域；在定义域内 求极值、最值；下结论 3x2ax 9(2015重庆理，20)设函数 f(x)(aR ) ex (1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线 方程； (2)若 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围 解析第一问主要考查了导数的几何意义，导数的求导公式以及极值问题，属于简单 题型第二问属于主要考查了导数的求导公式以及

19、单调性的应用， 是高考常考题型，属于简 单题型 6xaex3x2axex 3x26axa (1)对 f(x)求导得 f(x) ， exex2 因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0. 3x26x 3x2 当 a0 时，f(x) x ，f(x)， eex 33 故 f(1) ，f(1) . ee 33 从而 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y (x1)，化简得 3xey0. ee 3x26axa (2)由(1)知 f(x) ， ex 令 g(x)3x2(6a)xa， 6a 由 g(x)0 解得 x1 a236， 6 6a x2 6 a236. 当 xx1时，g(

20、x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数； 当 x10，故 f(x)为增函数； 当 xx2时，g(x)0，即 f(x)0，右侧 f (x)0，则 f(x0)为极大值，反 之 f(x0)为极小值，若在 xx0两侧 f(x)的值不变号，则 xx0不是 f(x)的极值点；(4)求最值， 比较各极值点与区间a，b的端点值 f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一 个为最小值 2已知f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况， 则转化为方程 f (x)0 的根的大小 或存在情况 10(文)已知函数 f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足 f(0)1，f(1)0. (1)求 a 的取值范围； (2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0,1上的最大值和最小值 解析(1)由 f(0)1，f(1)0 得 c1，ab1， 则 f(x)ax2(a1)x1ex， f (x)ax2(a1)xaex 依题意须对于任意 x(0,1)，有 f (x)0 时，因为二次函数yax2(a1)xa 的图象开口向上，而 f (0)a0，所 以须 f (1)(a1)e0，