高中数学配套文档专题三利用导数研究函数的性质

1、专题三专题三利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 1 f(x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件 2 f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是f(x)0，且 f(x)0 在有限个点处取到 3 对于可导函数 f(x)，f(x0)0 并不是 f(x)在 xx0处有极值的充分条件 对于可导函数 f(x)，xx0是 f(x)的极值点，必须具备f(x0)0，在 x0两侧，f(x) 的符号为异号所以 f(x0)0 只是 f(x)在 x0处有极值的必要条件，但并不充分 4 如果连续函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点在解决

2、实际问题中经常用到这一结论 ln aln x 1 已知函数 f(x)在1，)上为减函数，则实数a 的取值范围为_ x 答案e，) 1xln aln x 1ln aln x x 解析f(x) ，因为 f(x)在1，)上为减函数，故 x2x2 f(x)0 在1， )上恒成立， 即 ln a1ln x 在1， )上恒成立 设 (x)1ln x， (x)max1，故 ln a1，ae. 2 设函数 f(x)ax33x1 (xR )，若对于任意 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a 的值为_ 答案4 解析若 x0，则不论 a 取何值，f(x)0 显然成立； 3131 当 x0，即 x(0,1时，

3、f(x)ax33x10 可化为 a 23.设 g(x)23，则 g(x)xxxx 312x ， x4 111 0， 上单调递增，在区间 ，1上单调递减，因此 g(x) maxg 4， 所以 g(x)在区间 222 从而 a4. 31 当 x0，即 x1,0)时，同理 a 23.xx g(x)在区间1,0)上单调递增， g(x)ming(1)4，从而 a4， 综上可知 a4. 3 若函数 f(x)的导函数为 f(x)x(x1)，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是 _ 1 1， 答案 a 解析由 f(x)x(x1)0，得 x1 或 x0， 即 f(x)的减区间为(，1，0，)

4、， 则 f(x)的增区间为1,0 0a0， x 1 f(x)在1，e上是增函数，故 f(x)minf(1) . 2 题型一利用导数求函数的单调区间 例 1 2 f 3. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； 已知函数 f(x)x3ax2xc，且 a (3)设函数 g(x)(f(x)x3)ex，若函数g(x)在 x3，2上单调递增，求实数c 的取值范 围 解(1)由 f(x)x3ax2xc， 得 f(x)3x22ax1. 22 222a21， 当 x 时，得 af3 333 3 解之，得 a1. (2)由(1)可知 f(x)x3x2xc. 1 x (x1)，列表如下： 则 f

5、(x)3x22x13 3 x f(x) f(x) 1 (， ) 3 1 3 0 极大值 1 ( ，1) 3 1 0 极小值 (1，) 1 所以 f(x)的单调增区间是(， )和(1，)； 3 1 ，1. f(x)的单调减区间是 3 (3)函数 g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex， 有 g(x)(2x1)ex(x2xc)ex (x23xc1)ex， 因为函数 g(x)在 x3,2上单调递增， 所以 h(x)x23xc10 在 x3,2上恒成立 只要 h(2)0，解得 c11，所以 c 的取值范围是11，) 探究提高利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导

6、数 f(x)； (3)若求单调区间 (或证明单调性 )，只需在函数f(x)的定义域内解 (或证明 )不等式 f(x)0 或 f(x)0；当 x(1,0)时，f(x)0. 故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减 (2)f(x)x(ex1ax)，令 g(x)ex1ax，g(x)exa.若 a1，则当 x(0，)时， g(x)0，g(x)为增函数，而 g(0)0，从而当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0. 若 a1，则当 x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数， 而 g(0)0，从而当 x(0，ln a)时，g(x)0，即 f(x)0，即(x22)ex0，

7、因为 ex0， 所以x220，解得 2x0，所以x2(a2)xa0 对 x(1,1)都成立， x22xx121 1 即 a(x1)对 x(1,1)都成立 x1x1x1 令 y(x1) 11 ，则 y1 0. x1x12 1 所以 y(x1)在(1,1)上单调递增， x1 133 所以 y(11) .即 a . 2 11 2 3 因此 a 的取值范围为 a . 2 探究提高(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型， 其根据是函数在 某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立， 转化为 不等式恒成立问题解决 (2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就

8、是二次项系数可能等于零的情况，这样的 问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意 ax 已知函数 f(x) 2 在 x1 处取得极 x b 值 2. (1)求函数 f(x)的表达式； (2)当 m 满足什么条件时，函数 f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？ ax2bax2x 解(1)因为 f(x) ， 22xb ax 而函数 f(x) 2 在 x1 处取得极值 2， x b f10， 所以即 a 2， f12， 1b a1b2a0， a4 得， b1 4x 所以 f(x)即为所求 1x2 4x218x2 4x1x1 (2)由(1)知 f(x) . x2121x22 令 f(x)0

9、得 x11，x21， 则 f(x)的增减性如下表： x f(x) f(x) (，1) (1,1) (1，) 可知，f(x)的单调增区间是1,1， m1 所以2m11 1m0 m0 恒成立 当 x0 时，f(x)0) xx 当 a0 时，由 ax210，得 x 由 ax210，得 0x0 时，F(x)的增区间为 1 0， 减区间为 . a 1 ， a 当 a0 时，F(x)0)恒成立 故当 a0 时，F(x)在(0，)上单调递减 2ln x (2)原式等价于方程 a 2 (x)在区间 2，e上有两个不等解 x 2x12ln x (x) 在( 2， e)上为增函数， x4 1 在( e，e)上为减

10、函数，则 (x)max( e)， e 2 而 (e) 2(2)e 2ln 2 ln 2 ( 2) 42 (x)min(e)， 如图当 f(x)g(x) 在 2，e上有两个不等解时有 (x)minln 2， 2 ln 21 a 的取值范围为a . 2e 导数与函数单调性关系不清致误 典例：(14 分)已知 f(x)x3ax23x. (1)若 f(x)在2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在1，a上的最小值和最大值 易错分析求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数 f(x)的导数在区间2，)上大于零，忽视了函数的导

11、数在2，)上个别的点处可以 等于零，这样的点不影响函数的单调性 规范解答 解(1)由题意，知 f(x)3x22ax3，1 分 13 x . 令 f(x)0 (x2)，得 a 2x 13 x ，当 x2 时，t(x)是增函数，3 分 记 t(x) 2x 193 2 ， 所以 t(x)min 2 2 4 9 ， .6 分 所以 a 4 (2)由题意，得 f(3)0，即 276a30，所以 a4.7 分 所以 f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.9 分 1 令 f(x)0，得 x1，x23.10 分 3 1 又因为 x1,4，所以 x (舍去)，故 x3. 3 当 x(1,3)时，f(x)

12、0， 所以 f(x)在3,4上为增函数12 分 所以 x3 时，f(x)有极小值 于是，当 x1,4时，f(x)minf(3)18， 而 f(1)6，f(4)12，所以 f(x)maxf(1)6.14 分 温馨提醒(1)若函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则 f(x)0，其逆命题不成立， 因为 f(x)0 包括 f(x)0 或 f(x)0.当 f(x)0 时函数 yf(x)在区间(a， b)上单调递 增，当 f(x)0 时 f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数 yf(x)在区间(a，b)上单 调递减，则 f(x)0，其逆命题不成立(2)使 f(x)0 的离散的点不影响函数的单调

13、 性. 方法与技巧 1利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函 数最值的问题 应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标 的要求，构造出相应的函数关系式 2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问 题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的 极(最)值的应用 失误与防范 1研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域 2利用单调性求最值时不要忽视f(x)0 的情况 3“f(x0)0”是“函数 f(x)在 x0取到极值”的必要条件 A 组专项基础训练 (时间：35

14、 分钟，满分：62 分) 一、填空题(每小题 5 分，共 35 分) 1 函数 f(x)x22ln x 的单调减区间是_ 答案(0,1) 2 2x1x1 解析f(x)2x (x0)， xx 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 2函数 f(x)x33x24xa 的极值点的个数是_ 答案0 解析f(x)3x26x43(x1)210，则 f(x)在 R 上是增函数，故不存在极值点 3 若函数 f(x)x36bx3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是_ 1 0， 答案 2 解析f(x)在(0,1)内有最小值，即 f(x)在(0,1)内有极小值，f(x)3x26b， 由题意，

15、得函数 f(x)的草图如图， f00，6b0，36b0， 1 解得 0b0，函数 f(x)单调递增； 当 x(1,3)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增 所以函数 f(x)的极小值为 f(3)24，极大值为 f(1)8. 而 f(2)1，f(5)8，函数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m 在 x2,5 上有 3 个零点，只需函数 f(x)在2,5内的函数图象与直线 ym 有 3 个交点，故 m8， 即 m1,8) m1， 5 (2012广东)曲线 yx3x3 在点(1,3)处的切线方程为_ 答案2xy10 解析y3x21， 曲线在点(1,3)处的切线斜率 k31212. 该切线方

16、程为 y32(x1)，即 2xy10. 6 已知函数 f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线 3xy0 平行，若 f(x) 在区间t，t1上单调递减，则实数t 的取值范围是_ 答案2，1 解析由题意知，点(1,2)在函数 f(x)的图象上， 故mn2. 又 f(x)3mx22nx，则 f(1)3， 故 3m2n3. 联立解得：m1，n3，即 f(x)x33x2， 令 f(x)3x26x0，解得2x0， 则t，t12,0，故 t2 且 t10， 所以 t2，1 7 函数 f(x)x(xm)2在 x1 处取得极小值，则实数 m_. 答案1 解析f(x)x32mx2m2x，f(x

17、)3x24mxm2， 由已知 f(1)0，即 34mm20，解得 m1 或 m3. 当 m1 时，f(x)3x24x1(3x1)(x1)， 当 m3 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)， 则 m3 应舍去 二、解答题(共 27 分) 9 8 (13 分)设函数 f(x)x3 x26xa. 2 (1)对于任意实数 x，f(x)m 恒成立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求a 的取值范围 解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)， 因为 x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0 恒成立，所以 8112(6 3 m)0，解得 m ， 4 3 即 m

18、 的最大值为 . 4 (2)因为当 x0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0. 5 所以当 x1 时，f(x)取极大值 f(1) a； 2 当 x2 时，f(x)取极小值，f(2)2a， 故当 f(2)0 或 f(1)0 时，f(x)0 仅有一个实根 5 解得 a . 2 3 9 (14 分)已知函数 f(x)x3 ax2b(a，b 为实数，且 a1)在区间1,1上的最大值为 1， 2 最小值为2. (1)求 f(x)的解析式； (2)若函数 g(x)f(x)mx 在区间2,2上为减函数，求实数m 的取值范围 解(1)f(x)3x23ax， 令 f(x)0，得 x10，x2a，a1，

19、f(x)在1,0上为增函数，在0,1上为减函数 f(0)b1， 33 f(1) a，f(1)2 a，f(1)0， 当 f(x)在1,3 上单调递增时， f(x)0 恒成立， 则有 4a 450 或a0， a3， f30， 得 a 5，) 综上 a 的取值范围为(，3 5，) 1 2 若 a2，则方程 x3ax210 在(0,2)上恰好有_个根 3 答案1 1 解析设 f(x) x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)，因为a2，所以2a4，所以 3 811 4a14a0，当x(0,2)时， f(x)0) 1 y2t t 当 0t 2t21 t 22 2tt 22 . t 2时，y0，可知

20、 y 在此区间内单调递增 2 2时，|MN|有最小值 2 故当 t 4 关于 x 的方程 x33x2a0 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_ 答案(4,0) 解析由题意知使函数 f(x)x33x2a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，又f(x) 3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 x10，x22，当 x0；当 0x2 时， f(x)2 时，f(x)0，所以当 x0 时，f(x)取得极大值， 即 f(x)极大值f(0)a； 当 x2 时，f(x)取得极小值，即 f(x)极小值f(2)4a， a0 所以解得4a0. 4a0)ae (1)求 f(x)在0，)内的最小值； 3 (2)设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值 2 1 解(1)f(x)aex x，ae 当 f(